Яка частка початкової кінетичної енергії кулі 1 буде передана внаслідок лобового пружного зіткнення з кулею 2, якщо

Тимур

2

Для розв"язання цієї задачі розглянемо закон збереження кінетичної енергії.

Вихідна кінетична енергія кулі 1 дорівнює \(E_{\text{к1}}\), а кінетична енергія кулі 2 - \(E_{\text{к2}}\). Внаслідок лобового пружного зіткнення між цими кулями, частина початкової кінетичної енергії кулі 1 буде передана кулі 2. Позначимо цю частку як \(x\) (знайдемо її значення).

Закон збереження кінетичної енергії говорить про те, що сума початкових кінетичних енергій усіх тіл у системі дорівнює сумі кінетичних енергій після зіткнення:

\[E_{\text{к1}} + E_{\text{к2}} = E_{\text{к1"}} + E_{\text{к2"}}\]

Але кулі мають однакову масу, тому їх кінетичні енергії до зіткнення однакові:

\[E_{\text{к1}} = E_{\text{к2}}\]

Після зіткнення, кулі продовжують рухатися зі швидкостями \(v_{\text{1"}}\) та \(v_{\text{2"}}\) відповідно. Кінетична енергія после зіткнення може бути виражена через масу та швидкість тіл:

\[E_{\text{к1"}} = \frac{1} {2} m_{1} v_{\text{1"}}^2\]
\[E_{\text{к2"}} = \frac{1} {2} m_{2} v_{\text{2"}}^2\]

Але у нас вже відомо, що маси куль однакові: \(m_{2} = m_{1}\), тому:

\[E_{\text{к2"}} = \frac{1} {2} m_{1} v_{\text{2"}}^2\]

Підставимо отримані вирази у рівняння збереження кінетичної енергії:

\[E_{\text{к1}} + E_{\text{к2}} = E_{\text{к1"}} + E_{\text{к2"}}\]
\[E_{\text{к1}} + E_{\text{к2}} = \frac{1} {2} m_{1} v_{\text{1"}}^2 + \frac{1} {2} m_{1} v_{\text{2"}}^2\]

Оскільки початкові кінетичні енергії однакові, будемо мати:

\[2E_{\text{к1}} = m_{1} v_{\text{1"}}^2 + m_{1} v_{\text{2"}}^2\]
\[2E_{\text{к}} = m_{1} (v_{\text{1"}}^2 + v_{\text{2"}}^2)\]

Також припустимо, що вся кінетична енергія після зіткнення зберігається: \(2E_{\text{к}} = m_{1} v_{\text{1}}^2\)

Отже, враховуючи це, можемо записати:

\[m_{1} v_{\text{1}}^2 = m_{1} (v_{\text{1"}}^2 + v_{\text{2"}}^2)\]
\[v_{\text{1}}^2 = v_{\text{1"}}^2 + v_{\text{2"}}^2\]

Тепер повернемося до поставленого завдання і замінимо \(v_{\text{1}}\) на \(v_{\text{0}}\), оскільки це початкова швидкість кулі 1. Також, згідно умови задачі, кулі мають однакову масу, тому \(m_{2} = m_{1}\):

\[v_{\text{0}}^2 = v_{\text{1"}}^2 + v_{\text{2"}}^2\]

Знайдемо вираз для \(v_{\text{1"}}\) з фрази "частина початкової кінетичної енергії кулі 1 буде передана кулі 2". Нехай ця частина буде \(x\), тоді частина початкової кінетичної енергії кулі 1 після зіткнення буде \((1 - x)\). Використовуючи це, можна записати:

\[m_{1} v_{\text{0}}^2 = m_{1} (1 - x)v_{\text{1"}}^2 + m_{1} xv_{\text{2"}}^2\]

Спростимо вираз, розкривши дужки:

\[m_{1} v_{\text{0}}^2 = m_{1} v_{\text{1"}}^2 - m_{1} x v_{\text{1"}}^2 + m_{1} x v_{\text{2"}}^2\]

Залишимо тільки члени, що містять \(v_{\text{1"}}\) і підставимо \(v_{\text{0}}^2 = v_{\text{1"}}^2 + v_{\text{2"}}^2\):

\[v_{\text{0}}^2 = v_{\text{1"}}^2 - x v_{\text{1"}}^2 + x v_{\text{2"}}^2\]

Спростимо цей вираз:

\[v_{\text{0}}^2 = v_{\text{1"}}^2 + x (v_{\text{2"}}^2 - v_{\text{1"}}^2)\]

Тепер ми можемо виразити \(x\) (частку початкової кінетичної енергії кулі 1, що буде передана кулі 2):

\[x = \frac{v_{\text{0}}^2 - v_{\text{1"}}^2}{v_{\text{2"}}^2 - v_{\text{1"}}^2}\]

Таким чином, частка початкової кінетичної енергії кулі 1, яка буде передана кулі 2, розраховується за формулою:

\[x = \frac{v_{\text{0}}^2 - v_{\text{1"}}^2}{v_{\text{2"}}^2 - v_{\text{1"}}^2}\]

Будь ласка, зверніть увагу, що це остаточна формула для розв"язання задачі. Ми ввели всі необхідні символи та докладно розписали кожний крок. Тепер ви можете підставити числові значення для \(v_{\text{0}}\), \(v_{\text{1"}}\) та \(v_{\text{2"}}\) та обчислити частку початкової кінетичної енергії кулі 1, що буде передана кулі 2.