Яка площа рівнобічної трапеції, у якої верхня основа є вдвічі меншою від висоти, якщо в неї вписане коло радіусом

Murchik

60

Размеры трапеции:
Пусть основы трапеции будут \( a \) и \( b \), где \( a \) - верхняя основа, а \( b \) - нижняя основа. Высота трапеции обозначается как \( h \).

Из условия задачи известно, что верхняя основа вдвое меньше высоты, то есть \( a = \frac{1}{2}h \). Радиус вписанного круга обозначается как \( r \).

Теперь мы можем приступить к решению задачи.

Шаг 1: Найдем высоту и верхнюю основу трапеции.
Из условия \( a = \frac{1}{2}h \) следует, что \( h = 2a \).
Также, известно, что \( a = \frac{1}{2}b \), значит \( b = 2a \).

Шаг 2: Найдем площадь вписанного круга.
Площадь круга можно вычислить по формуле \( S = \pi r^2 \).
Нам известен только радиус \( r \), поэтому нам нужно его найти.

Шаг 3: Найдем радиус вписанного круга.
Для трапеции, вписанной в круг, верно следующее соотношение: \( r = \frac{h}{2} \).
Подставим полученное значение высоты (шаг 1) и получим \( r = \frac{2a}{2} = a \).

Шаг 4: Найдем площадь вписанного круга.
Подставляем значение радиуса (шаг 3) в формулу площади круга: \( S = \pi a^2 \).

Шаг 5: Найдем площадь трапеции.
Площадь трапеции можно найти по формуле: \( S = \frac{a+b}{2} \cdot h \).
Подставляем значения ​​основ (шаг 1) и высоты (шаг 2) и получим:
\( S = \frac{\frac{1}{2}h + 2a}{2} \cdot h = \frac{\frac{1}{2}\cdot 2h + 2a}{2} \cdot h = \frac{h + 4a}{2} \cdot h \).

Шаг 6: Подставляем значение площади вписанного круга (шаг 4) в формулу площади трапеции (шаг 5):
\( \frac{h + 4a}{2} \cdot h = \pi a^2 \).

Теперь у нас есть уравнение, которое определяет площадь трапеции. Далее его можно решить относительно \( h \) или \( a \) и найти конкретное значение площади трапеции.