Яка довжина бічної сторони рівнобедреного трикутника, якщо його основа на 1 см менша за бічну сторону, і точка дотику
Яка довжина бічної сторони рівнобедреного трикутника, якщо його основа на 1 см менша за бічну сторону, і точка дотику вписаного кола поділяє її у відношенні 3:2, відраховуючи від вершини (протилежної основі)? Знайдіть периметр трикутника.
Станислав_5637 8
Давайте розкриємо поставлену задачу крок за кроком і знайдемо відповіді на запитання. Почнемо з того, що означають умовні позначення в задачі:- \(АВС\) - рівнобедрений трикутник, де \(AB = AC\) (бічні сторони рівнобедреного трикутника) і \(BC\) - основа трикутника;
- \(М\) - точка дотику вписаного кола зі стороною \(BC\) трикутника.
Щоб знайти довжину бічної сторони \(AB\), спочатку визначимо довжину основи \(BC\) у виразі довжини бічної сторони \(AB\).
Умова задачі стверджує, що основа \(BC\) на 1 см менша за бічну сторону \(AB\). Ми можемо записати це як:
\[BC = AB - 1\]
Також, умова задачі стверджує, що точка дотику вписаного кола поділяє сторону \(BC\) у відношенні 3:2, відраховуючи від вершини \(A\). Означимо довжину відрізка \(BM\) як \(x\), тоді довжину відрізка \(MC\) можна обчислити як \(\frac{2}{3}x\).
Знаючи ці відношення, ми отримуємо:
\[\frac{x}{\frac{2}{3}x} = \frac{AB}{BC}\]
Далі спростимо це рівняння:
\[\frac{x}{\frac{2}{3}x} = \frac{AB}{AB - 1}\]
Знаменник зліва дорівнює 1, а знаменник справа - \(AB - 1\) (використовуючи попередню умову). Тому ми можемо спростити рівняння:
\[\frac{3x}{2x} = \frac{AB}{AB - 1}\]
Звідси отримуємо:
\[\frac{3}{2} = \frac{AB}{AB - 1}\]
Щоб знайти \(AB\), розв"яжемо це рівняння. Для цього зробимо перетворення:
\[3(AB - 1) = 2AB\]
\[3AB - 3 = 2AB\]
\[AB = 3\]
Таким чином, довжина бічної сторони \(AB\) рівнобедреного трикутника становить 3 см.
Для знаходження периметру трикутника \(ABC\) додамо довжини всіх сторін:
\[Perimeter = AB + AC + BC = 3 + 3 + (3 - 1) = 3 + 3 + 2 = 8\]
Отже, периметр трикутника \(ABC\) дорівнює 8 см.