Яка довжина бічної сторони рівнобедреного трикутника, якщо його основа на 1 см менша за бічну сторону, і точка дотику

  • 41
Яка довжина бічної сторони рівнобедреного трикутника, якщо його основа на 1 см менша за бічну сторону, і точка дотику вписаного кола поділяє її у відношенні 3:2, відраховуючи від вершини (протилежної основі)? Знайдіть периметр трикутника.
Станислав_5637
8
Давайте розкриємо поставлену задачу крок за кроком і знайдемо відповіді на запитання. Почнемо з того, що означають умовні позначення в задачі:

- \(АВС\) - рівнобедрений трикутник, де \(AB = AC\) (бічні сторони рівнобедреного трикутника) і \(BC\) - основа трикутника;
- \(М\) - точка дотику вписаного кола зі стороною \(BC\) трикутника.

Щоб знайти довжину бічної сторони \(AB\), спочатку визначимо довжину основи \(BC\) у виразі довжини бічної сторони \(AB\).

Умова задачі стверджує, що основа \(BC\) на 1 см менша за бічну сторону \(AB\). Ми можемо записати це як:

\[BC = AB - 1\]

Також, умова задачі стверджує, що точка дотику вписаного кола поділяє сторону \(BC\) у відношенні 3:2, відраховуючи від вершини \(A\). Означимо довжину відрізка \(BM\) як \(x\), тоді довжину відрізка \(MC\) можна обчислити як \(\frac{2}{3}x\).

Знаючи ці відношення, ми отримуємо:

\[\frac{x}{\frac{2}{3}x} = \frac{AB}{BC}\]

Далі спростимо це рівняння:

\[\frac{x}{\frac{2}{3}x} = \frac{AB}{AB - 1}\]

Знаменник зліва дорівнює 1, а знаменник справа - \(AB - 1\) (використовуючи попередню умову). Тому ми можемо спростити рівняння:

\[\frac{3x}{2x} = \frac{AB}{AB - 1}\]

Звідси отримуємо:

\[\frac{3}{2} = \frac{AB}{AB - 1}\]

Щоб знайти \(AB\), розв"яжемо це рівняння. Для цього зробимо перетворення:

\[3(AB - 1) = 2AB\]

\[3AB - 3 = 2AB\]

\[AB = 3\]

Таким чином, довжина бічної сторони \(AB\) рівнобедреного трикутника становить 3 см.

Для знаходження периметру трикутника \(ABC\) додамо довжини всіх сторін:

\[Perimeter = AB + AC + BC = 3 + 3 + (3 - 1) = 3 + 3 + 2 = 8\]

Отже, периметр трикутника \(ABC\) дорівнює 8 см.