Яка довжина другої сторони трикутника, яка прилежить до кута 75°, якщо одна зі сторін дорівнює 6 см, а прилеглі кути

Черныш

32

Добрый день! Чтобы найти длину второй стороны треугольника, нам потребуется использовать теорему синусов. В данном случае мы знаем одну сторону треугольника, равную 6 см, и два прилежащих к ней угла, 60° и 75°.

Формула для теоремы синусов имеет следующий вид:
\[\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)}\]
где \(a\) и \(b\) - стороны треугольника, а \(A\) и \(B\) - противолежащие им углы.

В нашем случае мы знаем, что одна из сторон равна 6 см, а противолежащий ей угол равен 75°. Пусть \(b\) - искомая сторона треугольника.

Мы можем записать уравнение:
\[\frac{6}{\sin(75°)} = \frac{b}{\sin(60°)}\]

Теперь нам нужно найти значения синусов для углов 75° и 60°. Давайте рассмотрим каждый из них отдельно.

Синус 75°:
\(\sin(75°) = \sin(45° + 30°) = \sin(45°) \cdot \cos(30°) + \cos(45°) \cdot \sin(30°)\)

По таблице значений синусов и косинусов мы знаем, что \(\sin(45°) = \cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}\) и \(\sin(30°) = \frac{1}{2}\), \(\cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Подставим эти значения:
\(\sin(75°) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\)

Теперь найдём синус 60°:
\(\sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

Подставим значения синусов в наше уравнение:
\[\frac{6}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{b}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\]

Остаётся решить это уравнение относительно \(b\). Умножим обе части уравнения на \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) и решим получившееся уравнение:
\[b = \frac{6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{12 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}\]

Таким образом, длина второй стороны треугольника, прилегающей к углу 75°, равна \(\frac{12 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}\) см (округляя до удобного значения).