Яка є довжина лінії перетину площини перерізу та поверхні кулі, коли об єм кулі становить 500/3п кубічних сантиметрів

Moroznyy_Korol

39

Для решения этой задачи, давайте воспользуемся геометрией и формулами объема и площади поверхности кули.

У нас есть информация о объеме кули, который составляет \( \frac{500}{3} \) кубических сантиметров. Обозначим радиус кули как \( r \).

Формула объема кули выглядит следующим образом:

\[ V = \frac{4}{3}\pi r^3 \]

Подставляя значение объема, получаем:

\[ \frac{500}{3} = \frac{4}{3}\pi r^3 \]

Чтобы найти радиус \( r \), необходимо решить этот уравнение относительно \( r^3 \).

\[ \frac{500}{3} = \frac{4}{3}\pi r^3 \]

Упрощаем:

\[ r^3 = \frac{500}{4\pi} \]

Чтобы найти длину линии пересечения плоскости и поверхности кули, нам нужно найти длину окружности на плоскости пересечения.

Перерез проведен на расстоянии 3 см от центра кули, поэтому радиус окружности пересечения будет \( r" = r - 3 \) см.

Длина окружности выражается формулой:

\[ L = 2\pi r" \]

Подставляя значение \( r" = r - 3 \), получаем:

\[ L = 2\pi(r - 3) \]

Теперь мы можем найти конкретные значения для радиуса и длины окружности:

\[ r = \sqrt[3]{\frac{500}{4\pi}} \]

\[ L = 2\pi(\sqrt[3]{\frac{500}{4\pi}} - 3) \]

Для более точного ответа, давайте вычислим числовые значения.