Яка довжина похилої, яка має на 2 см більше, ніж довжина проекції на пряму a, якщо довжина перпендикуляра, проведеного

Petya

1

Нехай довжина проекції на пряму \(a\) дорівнює \(x\) см. Тоді за умовою задачі, довжина похилої буде на 2 см більше за \(x\). Отже, довжина похилої буде \((x+2)\) см.

Також, задано, що довжина перпендикуляра, проведеного до прямої \(a\), дорівнює \((x+4)\) см.

Ми знаємо, що квадрат суми катетів прямокутного трикутника дорівнює квадрату гіпотенузи. В даному випадку, гіпотенуза - похила, а катет - перпендикуляр. Тому ми можемо використати теорему Піфагора:

\[(x+4)^2 = x^2 + (x+2)^2\]

Розкриваємо дужки та скорочуємо подібні члени:

\[x^2 + 8x + 16 = x^2 + x^2 + 4x + 4\]

Знову скорочуємо подібні члени та спрощуємо рівняння:

\[16x + 16 = 2x^2 + 4x + 4\]

Переносимо всі члени в одну частину:

\[2x^2 + 12x - 12 = 0\]

Розділимо обидві частини на 2:

\[x^2 + 6x - 6 = 0\]

Залишається розв"язати це квадратне рівняння. Можемо використати формулу дискримінанта, щоб знайти значення \(x\):

\[D = b^2 - 4ac\]

де \(a = 1\), \(b = 6\), \(c = -6\).

\[D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)\]
\[D = 36 + 24\]
\[D = 60\]

Так як \(D > 0\), маємо два дійсних кореня.

Застосовуючи формули для знаходження коренів квадратного рівняння:

\[x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

Отримуємо:

\[x_{1,2} = \dfrac{-6 \pm \sqrt{60}}{2}\]

\[x_{1} = \dfrac{-6 + \sqrt{60}}{2}\]
\[x_{2} = \dfrac{-6 - \sqrt{60}}{2}\]

Підраховуємо значення коренів:

\[x_{1} = \dfrac{-6 + \sqrt{60}}{2} \approx 1{,}45\]
\[x_{2} = \dfrac{-6 - \sqrt{60}}{2} \approx -7{,}45\]

Отже, рішенням квадратного рівняння є \(x \approx 1{,}45\) см. Тому довжина похилої буде \(x+2\), що дорівнює приблизно \(3{,}45\) см.