Яка довжина радіуса кола, яке описане навколо прямокутного трикутника, що має гіпотенузу довжиною 20 см і синус одного

Zhuzha

10

Для початку давайте знайдемо довжину радіуса описаного кола, яке описане навколо прямокутного трикутника. Ми знаємо, що прямокутний трикутник має гіпотенузу довжиною 20 см і синус одного з гострих кутів 0,8.

Означимо довжини катетів трикутника як \(a\) і \(b\), а гіпотенузу як \(c\). Звідси ми маємо таке співвідношення для синуса кута \(\alpha\):
\[ \sin(\alpha) = \frac{a}{c} \]

Оскільки ми знаємо, що синус одного з гострих кутів дорівнює 0,8, підставимо це значення:
\[ 0,8 = \frac{a}{20} \]

Звідси знайдемо довжину катету \(a\):
\[ a = 0,8 \times 20 = 16 \, \text{см} \]

Тепер можемо застосувати теорему Піфагора, щоб знайти інший катет:
\[ b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{20^2 - 16^2} = \sqrt{400 - 256} = \sqrt{144} = 12 \, \text{см} \]

Тепер можемо знайти радіус описаного кола, який є рівним половині гіпотенузи:
\[ \text{Радіус описаного кола} = \frac{c}{2} = \frac{20}{2} = 10 \, \text{см} \]

Далі, щоб знайти радіус вписаного кола в цей трикутник, використовуємо формулу радіусу вписаного кола \(r = \frac{S}{p}\), де \(S\) - площа трикутника, а \(p\) - його півпериметр.

Площу трикутника можна знайти за формулою \(S = \frac{ab}{2}\), а півпериметр \(p\) дорівнює \(p = \frac{a+b+c}{2}\).

Підставимо відомі значення:
\[ S = \frac{16 \cdot 12}{2} = 96 \, \text{см}^2 \]
\[ p = \frac{16 + 12 + 20}{2} = 24 \, \text{см} \]

Отже, радіус вписаного кола в цей трикутник:
\[ r = \frac{S}{p} = \frac{96}{24} = 4 \, \text{см} \]

Отже, радіус описаного кола дорівнює 10 см, а радіус вписаного кола дорівнює 4 см.