Яка довжина сторони правильного шестикутника, коло якого описується?

Raisa_4082

55

Чтобы определить длину стороны правильного шестиугольника, описанного вокруг окружности, нам необходимо использовать связь между радиусом окружности \(R\) и длиной стороны шестиугольника \(s\).

Для начала рассмотрим равносторонний треугольник, вписанный в окружность. Выведем формулу, связывающую радиус окружности и длину его стороны.

Равносторонний треугольник имеет три равные стороны, а также внутренние углы, равные 60 градусов каждый. Если мы нарисуем высоту этого треугольника, она будет разбивать треугольник на два равносторонних треугольника. Давайте обозначим высоту как \(h\).

Зная определение синуса угла, мы можем записать:

\(\sin(60°) = \frac{h}{\text{сторона треугольника}}\).

Так как угол 60 градусов — это один из углов равностороннего треугольника, а радиус окружности — это расстояние от центра окружности до любой стороны равностороннего треугольника,

то \(\text{сторона треугольника} = R\).

Заменим эти значения в уравнении:

\(\sin(60°) = \frac{h}{R}\).

Так как мы знаем, что \(\sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}\) (это значение можно найти в таблицах тригонометрических функций), мы можем переписать уравнение:

\(\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{h}{R}\).

Решим это уравнение относительно \(h\):

\(h = \frac{\sqrt{3} \cdot R}{2}\).

Теперь у нас есть выражение для высоты \(h\) равностороннего треугольника (который вписан в окружность). Но так как равносторонний треугольник имеет три одинаковые стороны, каждая из которых равна \(s\), мы можем записать:

\(s = 3h\).

Подставим значение \(h\) из предыдущего шага в это уравнение:

\(s = 3 \cdot \frac{\sqrt{3} \cdot R}{2}\).

Упростим это уравнение:

\(s = \frac{3\sqrt{3} \cdot R}{2}\).

Таким образом, мы получили формулу для длины стороны шестиугольника \(s\), описанного около окружности радиуса \(R\):

\[s = \frac{3\sqrt{3} \cdot R}{2}\].

Теперь, чтобы найти длину стороны любого правильного шестиугольника, вам потребуется знать радиус описанной окружности.