Яка довжина третьої сторони трикутника, якщо відомо, що відношення довжин двох інших сторін складає 5:3, а кут між ними

Винтик

57

Для решения этой задачи мы можем использовать теорему косинусов, которая связывает длины сторон треугольника с косинусом соответствующего угла.

Пусть длины двух известных сторон треугольника равны 5x и 3x, где x - это некоторое неизвестное число. Задачей является нахождение длины третьей стороны треугольника, обозначим ее как с.

Так как косинус 120 градусов равен -1/2, мы можем записать теорему косинусов следующим образом:

\(c^2 = (5x)^2 + (3x)^2 - 2 \cdot 5x \cdot 3x \cdot (-1/2)\)

Разложим выражение и упростим его:

\(c^2 = 25x^2 + 9x^2 + 15x^2\)

\(c^2 = 49x^2\)

Теперь найдем периметр треугольника, который равен сумме длин всех его сторон:

\(P = 5x + 3x + c\)

Подставим значение периметра, которое равно 45 см, и решим уравнение относительно c:

\(45 = 8x + c\)

\(c = 45 - 8x\)

Теперь мы можем подставить это значение c в уравнение c^2 = 49x^2:

\((45 - 8x)^2 = 49x^2\)

Раскроем скобки и решим получившееся квадратное уравнение:

\(2025 - 720x + 64x^2 = 49x^2\)

\(15x^2 - 720x + 2025 = 0\)

Мы можем решить это квадратное уравнение, используя формулу дискриминанта:

\(D = b^2 - 4ac = (-720)^2 - 4 \cdot 15 \cdot 2025 = 518400 - 121500 = 396900\)

Так как D положительный, у нас есть два действительных корня:

\(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}\) и \(x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}\)

Подставим значения a = 15, b = -720, c = 2025 в формулу и найдем два значения x:

\(x_1 = \frac{-(-720) + \sqrt{396900}}{2 \cdot 15}\) и \(x_2 = \frac{-(-720) - \sqrt{396900}}{2 \cdot 15}\)

\(x_1 = \frac{720 + 630}{30} = \frac{1350}{30} = 45\)

\(x_2 = \frac{720 - 630}{30} = \frac{90}{30} = 3\)

Таким образом, у нас есть два возможных значения x: 45 и 3.

Теперь вычислим соответствующие длины сторон треугольника, подставив каждое значение x в выражения 5x и 3x:

Для x = 45:
длина первой стороны: 5x = 5 * 45 = 225
длина второй стороны: 3x = 3 * 45 = 135
длина третьей стороны: c = 45 - 8 * 45 = -315 (отрицательное значение, поэтому отбрасываем)

Для x = 3:
длина первой стороны: 5x = 5 * 3 = 15
длина второй стороны: 3x = 3 * 3 = 9
длина третьей стороны: c = 45 - 8 * 3 = 9

Таким образом, длина третьей стороны треугольника при x = 3 равна 9 см.