Яка довжина твірної конуса (у сантиметрах), якщо його об’єм рівний 800π кубічних сантиметрів, а площа основи становить

Zhiraf

37

Давайте решим задачу!

Об"єм конуса можна знайти за формулою \(V = \frac{1}{3}\pi r^2 h\), де \(r\) - радіус основи, а \(h\) - висота конуса. З питання ми вже знаємо, що об"єм конуса дорівнює 800π кубічних сантиметрів, тобто \(V = 800\pi\).

Також умовою задачі нам дано площу основи конуса, яка дорівнює 100π. Площу основи можна знайти за формулою \(S = \pi r^2\), де \(S\) - площа, а \(r\) - радіус основи конуса. Отже, у нас вже є дані щодо площі основи, \(S = 100\pi\).

Давайте використаємо формулу для площі основи конуса, щоб знайти радіус \(r\):
\[100\pi = \pi r^2\]

Тепер розв"яжемо це рівняння для \(r\):
\[r^2 = \frac{100\pi}{\pi} = 100\]

Не забывайте, что у нас есть два рішення: \(r = -10\) або \(r = 10\) (поясните школьнику почему их два).

Так як величина не може бути від’ємною (довжина не може бути негативною), ми відкидаємо \(r = -10\) і залишаємо \(r = 10\).

Тепер, коли ми знаємо радіус, ми можемо знайти висоту \(h\) конуса. Підставимо отримане значення радіуса \(r = 10\) і об"єм \(V = 800\pi\) в формулу об"єму конуса:
\[800\pi = \frac{1}{3}\pi \cdot 10^2 \cdot h\]

Зведемо показники степенів і домножимо обидві частини рівняння на \(\frac{3}{\pi}\):
\[800\pi \cdot \frac{3}{\pi} = \frac{1}{3}\pi \cdot 10^2 \cdot h \cdot \frac{3}{\pi}\]

Результат:
\[2400 = 100 \cdot h\]

Тепер розділимо обидві частини на 100:
\[h = \frac{2400}{100} = 24\]

Отже, висота конуса становить 24 сантиметри.

Щоб отримати довжину твірної конуса, ми можемо скористатися теоремою Піфагора, яка говорить нам, що твірна конуса може бути знайдена за формулою \(l = \sqrt{r^2 + h^2}\), де \(l\) - довжина твірної.

Підставимо відомі значення \(r = 10\) і \(h = 24\) в цю формулу:
\[l = \sqrt{10^2 + 24^2} = \sqrt{100 + 576} = \sqrt{676} = 26\]

Отже, довжина твірної конуса становить 26 сантиметрів.

Пошагове рішення задачі:
1. Використовуємо формулу \(S = \pi r^2\) для знаходження радіуса \(r\).
2. Розв"язуємо рівняння \(100\pi = \pi r^2\) для \(r\) і отримуємо \(r = 10\).
3. Використовуємо формулу \(V = \frac{1}{3}\pi r^2 h\) для знаходження висоти \(h\).
4. Підставляємо відомі значення \(V = 800\pi\) і \(r = 10\) в формулу об"єму і отримуємо \(h = 24\).
5. Використовуємо теорему Піфагора \(l = \sqrt{r^2 + h^2}\) для знаходження довжини твірної і отримуємо \(l = 26\).

Округлимо відповідь до цілого числа. Довжина твірної конуса становить 26 сантиметрів.