Яка довжина твірної конуса, якщо довжина кола його основи дорівнює 40п см, а висота

Блестящая_Королева

33

Давайте решим задачу шаг за шагом.

Пусть \(r\) - радиус основания конуса, а \(h\) - его высота. Также, известно, что длина окружности основания равна 40п см.

1. Формула для длины окружности \(C\) с радиусом \(r\) равна:
\[C = 2 \pi r\]

2. Из условия задачи, длина окружности равна 40п см:
\[40п = 2 \pi r\]

3. Разделим обе стороны уравнения на \(2 \pi\), чтобы найти радиус \(r\):
\[\frac{40п}{2 \pi} = r\]

4. Получаем значение радиуса \(r\):
\[r = \frac{20п}{\pi} \text{ см}\]

5. Теперь мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длины твёрдого пучка конуса \(l\), ведущего от вершины конуса до периметра его основания. Теорема Пифагора гласит:
\[l^2 = r^2 + h^2\]

6. Подставим значение радиуса, которое мы получили в предыдущем шаге, и оставим переменную \(h\):
\[l^2 = \left(\frac{20п}{\pi}\right)^2 + h^2\]

7. Возведём равенство в квадрат, чтобы избавиться от корня:
\[l^2 = \frac{400п^2}{\pi^2} + h^2\]

8. Унифицируем дробь, умножив числитель и знаменатель первого слагаемого на \(\pi^2\):
\[l^2 = \frac{400п^2 + \pi^2h^2}{\pi^2}\]

9. Умножим обе стороны уравнения на \(\pi^2\), чтобы избавиться от знаменателя и получить значение \(l\) в квадрате:
\[l^2 \cdot \pi^2 = 400п^2 + \pi^2h^2\]

10. Заметим, что \(\pi^2\) в двух слагаемых обоих сторон можно сократить:
\[l^2 \cdot \pi^2 = 400п^2 + h^2\]

11. Теперь выразим \(l\) через \(h\) и \(п\):
\[l = \sqrt{400п^2 + h^2} \text{ см}\]

Таким образом, длина твёрдого пучка конуса равна \(\sqrt{400п^2 + h^2}\) см.