Каков обьем пирамиды PABC, основой которой является прямоугольный треугольник ABC, где угол С равен 90 градусов

Милочка

22

Для решения данной задачи, нам понадобятся знания из геометрии и тригонометрии.

Дано, что основание пирамиды образует прямоугольный треугольник ABC, где угол С равен 90 градусов, ВС равно 6 см, а угол В равен 60 градусов. По условию, грань APС перпендикулярна плоскости основания, а две другие грани наклонены к нему под углом 45 градусов.

Для начала, найдем длину стороны AB треугольника ABC. Используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника ABC, получаем:

\[AB^2 = BC^2 + AC^2\]

Известно, что ВС равно 6 см, поэтому заменяем BC в уравнении на 6:

\[AB^2 = 6^2 + AC^2\]

Также, у нас есть информация о том, что угол В треугольника равен 60 градусов. Поэтому можем использовать тригонометрические отношения, чтобы определить значение AC. Так как нам известна гипотенуза и угол, мы можем использовать синус:

\[\sin(60^\circ) = \frac{AC}{AB}\]

Для решения этого уравнения, сначала найдем значение синуса 60 градусов. Значение синуса 60 градусов равно \( \frac{\sqrt{3}}{2} \).

Теперь мы можем найти значение AC:

\[\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{AC}{AB}\]

Умножим обе стороны уравнения на AB, чтобы избавиться от деления:

\[\sqrt{3} \cdot AB = 2 \cdot AC\]

Теперь подставим это значение в наше первое уравнение:

\[AB^2 = 6^2 + ( \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot AB )^2\]

Решая это уравнение, найдем значение AB, которое равно 6,93 см (округленно до сотых).

Теперь, чтобы найти объем пирамиды PABC, мы можем воспользоваться формулой:

\[V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{основания}} \cdot h\]

где \(S_{\text{основания}}\) - площадь основания пирамиды, а h - высота пирамиды.

Мы знаем, что основанием пирамиды является прямоугольный треугольник ABC со стороной AB, которую мы уже определили, и стороной BC равной 6 см.

Площадь прямоугольного треугольника рассчитывается по формуле:

\[S_{\text{основания}} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC\]

Подставляем значения и находим площадь основания:

\[S_{\text{основания}} = \frac{1}{2} \cdot 6,93 \, \text{см} \cdot 6 \, \text{см}\]
\[S_{\text{основания}} = 20,79 \, \text{см}^2\]

Теперь, чтобы найти высоту пирамиды, обратимся к схеме задачи. Мы видим, что грань APС перпендикулярна плоскости основания, поэтому AP является высотой пирамиды.

Также, данный треугольник является прямоугольным, где угол В равен 45 градусов. Используя тригонометрические отношения, мы можем найти длину AP. Значение синуса 45 градусов равно \( \frac{\sqrt{2}}{2} \).

Теперь, так как у нас есть сторона BC, мы можем использовать это значение, чтобы найти длину AP:

\[\sin(45^\circ) = \frac{AP}{BC}\]

Решая это уравнение, находим значение AP:

\[\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{AP}{6}\]
\[AP = \frac{6 \cdot \sqrt{2}}{2}\]
\[AP = 3 \cdot \sqrt{2} \, \text{см}\]

Теперь, подставляем найденные значения в формулу для объема пирамиды:

\[V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{основания}} \cdot h\]

\[V = \frac{1}{3} \cdot 20,79 \, \text{см}^2 \cdot 3 \cdot \sqrt{2} \, \text{см}\]

Выполняя вычисления, получаем:

\[V \approx 36,02 \, \text{см}^3\]

Таким образом, объем пирамиды PABC равен примерно 36,02 кубическим сантиметрам.