Яка індуктивність коливального контуру, якщо струм у ньому змінюється згідно закону і = 0,01 cos 1000t, а його

Sladkiy_Angel

49

Для нахождения индуктивности колебательного контура, нам понадобится использовать уравнение для колебаний в RLC-контуре. Уравнение имеет вид:

\[L \cdot \frac{d^2q}{dt^2} + R \cdot \frac{dq}{dt} + \frac{q}{C} = 0\]

где:
\(L\) - индуктивность контура,
\(R\) - сопротивление контура,
\(C\) - ёмкость конденсатора,
\(\frac{d^2q}{dt^2}\) - вторая производная заряда по времени,
\(\frac{dq}{dt}\) - первая производная заряда по времени,
\(q\) - заряд на конденсаторе.

Рассмотрим каждый член уравнения по отдельности.

Первый член уравнения: \(L \cdot \frac{d^2q}{dt^2}\). Здесь у нас есть индуктивность, обозначенная как \(L\), и вторая производная заряда по времени \(\frac{d^2q}{dt^2}\). В данной задаче нам известен вид изменения тока: \(i = 0,01 \cos(1000t)\). Чтобы найти производную, нам нужно продифференцировать данное выражение по времени:

\(\frac{di}{dt} = -0,01 \cdot 1000 \sin(1000t) = -10 \sin(1000t)\)

Продифференцируем ещё раз, чтобы получить вторую производную:

\(\frac{d^2i}{dt^2} = -10^2 \cos(1000t) = -100 \cos(1000t)\)

Теперь мы знаем значение \(\frac{d^2i}{dt^2}\), и можем подставить его в первый член уравнения.

\(L \cdot \frac{d^2q}{dt^2} = L \cdot (-100 \cos(1000t)) = -100L \cos(1000t)\)

Второй член уравнения: \(R \cdot \frac{di}{dt}\). Здесь у нас есть сопротивление контура, обозначенное как \(R\), и первая производная заряда по времени \(\frac{di}{dt}\). Мы уже нашли значение \(\frac{di}{dt}\) при вычислении первой производной. Теперь мы можем подставить его во второй член уравнения.

\(R \cdot \frac{di}{dt} = R \cdot (-10 \sin(1000t)) = -10R \sin(1000t)\)

Третий член уравнения: \(\frac{q}{C}\). Здесь у нас есть заряд на конденсаторе \(q\) и ёмкость конденсатора \(C\). В этой задаче нам известена ёмкость конденсатора: \(C = 2 \cdot 10^{-5}\) Ф. Мы также знаем, что \(q\) - это заряд на конденсаторе.

Теперь мы можем объединить все члены уравнения:

\(-100L \cos(1000t) - 10R \sin(1000t) + \frac{q}{C} = 0\)

Для дальнейшего решения требуется подробнее задать условия задачи. Необходимо знать значение заряда на конденсаторе \(q\) в начальный момент времени, чтобы дать полное решение и найти значение индуктивности \(L\).