Яка кількість діагоналей виходить з однієї вершини п ятнадцятикутника?

Zagadochnyy_Zamok

12

Чтобы решить эту задачу, нам нужно знать, сколько диагоналей выходит из одной вершиныn-угольника, где n - количество его вершин. В данном случае у нас пятнадцатиугольник, поэтому n = 15.

Сначала определим, сколько диагоналей общего числа выходит из одной вершины. Для этого нужно соединить данную вершину с каждой другой вершиной, не смежной с ней и не являющейся ее соседней.

У пятиугольника есть 5 вершин, смежных с каждой вершиной, а также две соседние вершины. Итак, общее число вершин, смежных с каждой вершиной, равно 5 + 2 = 7.

Теперь мы можем рассчитать, сколько всего диагоналей выходит из одной вершины пятнадцатиугольника. Для этого нам нужно вычислить количество сочетаний из 15 вершин по 2. Мы можем использовать формулу сочетаний:

\(\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\)

где n - общее количество элементов (вершин), а k - количество выбираемых элементов (2 в нашем случае).

Подставим значения и рассчитаем количество диагоналей:

\(\binom{15}{2} = \frac{15!}{2!(15-2)!} = \frac{15 \cdot 14}{2} = 105\)

Таким образом, из одной вершины пятнадцатиугольника выходит 105 диагоналей.

Пошаговое решение:
1. Определить количество вершин в пятнадцатиугольнике (n = 15).
2. Определить количество вершин, смежных с каждой вершиной пятнадцатиугольника, не считая соседних и смежных (7).
3. Используя формулу сочетаний, вычислить количество диагоналей, выходящих из одной вершины: \(\binom{15}{2} = 105\).
4. Ответ: из одной вершины пятнадцатиугольника выходит 105 диагоналей.