3. Яким є період незменшуються коливань підвішеного на пружині тягарця, якщо його висота над рівнем столу змінюється

Мистический_Лорд

18

Подвесим по пружине тягарец массой \(m\) кг. Пусть высота \(h\) над столом меняется от 3 до 9 см. Мы хотим найти период колебаний \(T\).

Период колебаний зависит от длины \(l\) свободного хода подвеса тягарца. Давайте найдем эту длину.

Когда тягарец находится в положении равновесия (в самом низу), пружина растянута на максимальную длину, и тягарец находится на расстоянии \(h_1\) от положения равновесия. В этом случае длина свободного хода подвеса будет равна сумме длины пружины и расстояния \(h_1\).

Когда тягарец находится в верхней точке своего движения, пружина сжата на минимальную длину, и тягарец находится на расстоянии \(h_2\) от положения равновесия. В этом случае длина свободного хода подвеса будет равна разности длины пружины и расстояния \(h_2\).

Итак, длина свободного хода подвеса будет равна:

\[l = (\text{{длина пружины}} + h_1) - (\text{{длина пружины}} - h_2) = h_1 + h_2\]

Теперь давайте найдем равнодействующую сил, действующую на тягарец в положении равновесия. Мы можем использовать второй закон Ньютона и приравнять эту силу к силе упругости пружины:

\[m \cdot g = k \cdot l\]

где \(g\) - ускорение свободного падения (приближенно 9,8 м/с\(^2\)), \(k\) - коэффициент упругости пружины.

Теперь мы можем выразить коэффициент упругости пружины:

\[k = \frac{{m \cdot g}}{{l}}\]

Окончательно, мы можем использовать формулу для периода колебаний пружинного маятника:

\[T = 2 \pi \sqrt{\frac{{m}}{{k}}} = 2 \pi \sqrt{\frac{{m}}{{\frac{{m \cdot g}}{{l}}}}} = 2 \pi \sqrt{\frac{{l}}{{g}}}\]

Подставим значения \(h_1 = 9 \, \text{см}\), \(h_2 = 3 \, \text{см}\), \(g = 9,8 \, \text{м/с}^2\) и рассчитаем период колебаний \(T\):

\[T = 2 \pi \sqrt{\frac{{h_1 + h_2}}{{g}}} = 2 \pi \sqrt{\frac{{0,09 + 0,03}}{{9,8}}} \approx 2 \pi \sqrt{\frac{{0,12}}{{9,8}}} \approx 2 \pi \sqrt{0,01224} \approx 0,786 \, \text{сек}\]

Таким образом, период незменяемых колебаний подвешенного на пружине тягарца, если его высота над столом меняется от 3 до 9 см, составляет примерно 0,786 секунды.