Яка кількість трицифрових чисел, які можна створити з повторенням цифр 1, 2, 3, 4 та 5 і кратні

Pugayuschaya_Zmeya_4869

16

Для решения данной задачи нам необходимо определить, какое количество трехзначных чисел можно составить, используя только цифры 1, 2, 3, 4 и 5, и при этом эти числа должны быть кратными некоторому числу.

Давайте разберемся поэтапно:
1. Определим количество вариантов выбора цифры для каждой позиции в числе. У нас есть 5 вариантов выбора цифры для каждой позиции, так как используем цифры от 1 до 5.
2. Рассмотрим возможные ограничения на кратность числа. Для этого необходимо определить, какие комбинации из трех цифр из нашего набора (1, 2, 3, 4 и 5) могут быть кратными определенному числу. Существует несколько правил, позволяющих определить кратность числа. Давайте рассмотрим некоторые из них.
　
- Кратность числа 2: число будет кратным 2, если последняя цифра (единицы) является четной (2 или 4).
- Кратность числа 3: число будет кратным 3, если сумма его цифр также будет кратной 3. В нашем случае, нам нужно подумать, какие комбинации трех из наших цифр дают сумму, кратную 3.
- Кратность числа 5: число будет кратным 5, если его последняя цифра (единицы) является 5.

3. Найдем комбинации чисел, которые удовлетворяют определенным кратностям, и количество вариантов для каждой из них:
- Кратность 2: Поскольку четных чисел всего два (2 и 4), вы увидите, что половина всех трехзначных чисел будут кратными 2. Тогда количество трехзначных чисел, кратных 2, составит \(\frac{5}{2} \cdot 5 \cdot 5 = 12.5 \approx 13\).
- Кратность 3: Из предыдущего пункта мы знаем, что сумма всех пяти цифр (1, 2, 3, 4 и 5) равна 15, что является кратным 3. Значит, все возможные комбинации цифр из набора будут давать числа, кратные 3. Количество таких чисел будет равно \(5 \cdot 5 \cdot 5 = 125\).
- Кратность 5: Всего одна цифра, удовлетворяющая кратности 5, это 5. Так как она может находиться на любой позиции (единицы), она будет встречаться в \(\frac{1}{5}\) всех трехзначных чисел. Тогда количество трехзначных чисел, кратных 5, составит \(\frac{1}{5} \cdot 5 \cdot 5 = 5\).

4. Суммируем количество чисел, удовлетворяющих каждой кратности:
- Для числа, кратного 2, мы получили 13 вариантов.
- Для числа, кратного 3, мы получили 125 вариантов.
- Для числа, кратного 5, мы получили 5 вариантов.

В итоге, общее количество трехзначных чисел, которые можно создать с повторением цифр 1, 2, 3, 4 и 5 и кратные некоторому числу, составит \(13 + 125 + 5 = 143\).

Таким образом, ответ на задачу составляет 143 трехзначных числа.