Яка є критична точка функції y = x(x-4)^3?

Sumasshedshiy_Sherlok

65

Чтобы найти критические точки функции \(y = x(x-4)^3\), нам нужно найти значения \(x\), при которых производная равна нулю или не существует. Критическая точка это точка, где функция может иметь экстремум (максимум или минимум) или точку перегиба.

Давайте начнем с нахождения производной функции \(y\) по \(x\). Для этого нам понадобится использовать правило дифференцирования произведения.

\[y = x(x-4)^3\]

Используем правило дифференцирования произведения:

\[y" = (x)"(x-4)^3 + x((x-4)^3)"\]

Упростим выражение, начав с первого слагаемого:

\((x)" = 1\)

Получаем:

\[y" = (x-4)^3 + x3(x-4)^2\]

Упрощаем дальше:

\[y" = (x-4)^2((x-4) + 3x)\]

Выражение \((x-4)^2\) всегда положительное, поэтому нам нужно найти значения \(x\), при которых второй множитель равен нулю:

\((x-4) + 3x = 0\)

Упрощаем уравнение:

\[4x - 4 = 0\]

\[4x = 4\]

\[x = 1\]

Таким образом, у нас есть одна критическая точка \(x = 1\). Чтобы определить, является ли она максимальной или минимальной точкой, нам нужно проанализировать знаки производной в окрестности этой точки.

Давайте возьмем несколько значений \(x\) в окрестности точки \(x = 1\) и вычислим значения производной \(y"\) для каждого значения:

Пусть \(x = 0\):

\[y" = (0-4)^2((0-4) + 3 \cdot 0) = 16 \cdot (-4) = -64\]

Пусть \(x = 1\):

\[y" = (1-4)^2((1-4) + 3 \cdot 1) = 9 \cdot (-2) = -18\]

Пусть \(x = 2\):

\[y" = (2-4)^2((2-4) + 3 \cdot 2) = 4 \cdot 2 = 8\]

Посмотрим на эти значения: когда \(x\) находится слева от \(1\), производная \(y"\) отрицательна, а когда \(x\) находится справа от \(1\), производная положительна. Это означает, что у нас есть локальный минимум в точке \(x = 1\).

Таким образом, критическая точка функции \(y = x(x-4)^3\) равна \(x = 1\) и это локальный минимум.