Яка маса планети і який період обертання супутника, якщо висота руху супутника дорівнює радіусу планети, а прискорення

Щелкунчик

64

Для решения этой задачи нам понадобится использовать законы движения, в частности закон всемирного тяготения и закон Ньютона.

Первым делом нужно найти массу планеты. Для этого воспользуемся законом всемирного тяготения. Сила притяжения, действующая на спутник, равна произведению массы планеты на прискорение свободного падения на поверхности планеты. Формула выглядит следующим образом:

\[F = m \cdot g\]

где F - сила притяжения, m - масса планеты и g - ускорение свободного падения.

Мы знаем, что ускорение равно 0,95 м/с², поэтому формулу можно переписать следующим образом:

\[F = m \cdot 0,95\]

Сила притяжения также может быть выражена через закон всемирного тяготения следующим образом:

\[F = \frac{{G \cdot m \cdot M}}{{r^2}}\]

где G - гравитационная постоянная, M - масса планеты, а r - радиус орбиты.

Теперь мы можем записать уравнение, связывающее все эти величины:

\[\frac{{G \cdot m \cdot M}}{{r^2}} = m \cdot 0,95\]

Перейдем к решению уравнения. Очистим его от множителя m:

\[G \cdot M = r^2 \cdot 0,95\]

Теперь найдем массу планеты M. Для этого поделим обе части уравнения на G:

\[M = \frac{{r^2 \cdot 0,95}}{{G}}\]

В данной задаче радиус планеты \(r\) равен 3400, а гравитационная постоянная \(G\) составляет примерно \(6,67430 \times 10^{-11}\) м³/(кг·с²). Подставим эти значения в уравнение и рассчитаем значение массы планеты \(M\):

\[M = \frac{{3400^2 \cdot 0,95}}{{6,67430 \times 10^{-11}}}\]

Рассчитав эту формулу, получим массу планеты M. Теперь перейдем ко второй части задачи - нахождению периода обращения спутника.

Период обращения спутника можно найти с использованием формулы для центростремительного ускорения:

\[a = \frac{{v^2}}{{r}}\]

где a - центростремительное ускорение, v - скорость спутника, r - радиус орбиты спутника.

Мы знаем, что центростремительное ускорение равно данному нам прискорению в задаче, которое составляет 0,95 м/с². Подставим эти значения в формулу и рассчитаем скорость спутника v:

\[0,95 = \frac{{v^2}}{{r}}\]

\[v^2 = 0,95 \cdot r\]

\[v = \sqrt{{0,95 \cdot r}}\]

Теперь найдем период обращения спутника. Для этого воспользуемся формулой:

\[T = \frac{{2\pi r}}{{v}}\]

\[T = \frac{{2\pi r}}{{\sqrt{{0,95 \cdot r}}}}\]

Подставим значение радиуса \(r\) и рассчитаем период обращения спутника \(T\).

Таким образом, решение задачи состоит в нахождении массы планеты \(M\) и периода обращения спутника \(T\) на основе данных, данных в условии задачи. Вы можете использовать калькулятор или математический софт для выполнения всех необходимых вычислений, чтобы получить численные значения ответа.