Яка маса планети та який період обертання супутника, якщо супутник рухається по коловій орбіті з висотою, яка дорівнює

Svetik

46

Чтобы решить эту задачу, нам понадобятся законы Ньютона о движении.

Первый закон Ньютона (закон инерции) говорит о том, что тело будет двигаться с постоянной скоростью, если на него не действуют внешние силы или сумма всех внешних сил равна нулю.

В данной задаче рассматривается движение спутника по круговой орбите вокруг планеты. Это означает, что существует центростремительная сила, направленная к центру круговой орбиты, которая обеспечивает движение спутника и вызывает его ускорение.

Центростремительная сила, действующая на спутник, связана с его ускорением \(a\) и массой планеты \(m\) следующим образом:

\[F = ma\]

Однако мы не знаем массу планеты, поэтому нам нужна дополнительная информация, чтобы решить эту задачу.

Дано, что ускорение равно \(0.95 \, м/с^2\). Поскольку сила является центростремительной, она может быть выражена как масса спутника умноженная на его центростремительное ускорение:

\[F = m \cdot a\]

Также дано, что высота орбиты равна радиусу планеты. Используя это, мы можем установить связь между радиусом планеты и силой, действующей на спутник.

Центростремительная сила может быть выражена через гравитационную силу:

\[F = \frac{{G \cdot m \cdot M}}{{r^2}}\]

где \(G\) - гравитационная постоянная, \(M\) - масса планеты и \(r\) - радиус орбиты спутника.

Мы знаем, что радиус орбиты спутника равен радиусу планеты (\(r = 6670\) км). Теперь мы можем записать следующее уравнение:

\[\frac{{G \cdot m \cdot M}}{{r^2}} = m \cdot a\]

Для нахождения массы планеты (\(M\)), исключим массу спутника (\(m\)) из уравнения:

\[G \cdot M = a \cdot r^2\]

Теперь у нас есть уравнение, связывающее массу планеты, ускорение и радиус орбиты спутника.

Зная численные значения для гравитационной постоянной (\(G = 6.67430 \times 10^{-11}\, м^3/(кг \cdot с^2)\)) и радиуса орбиты спутника (\(r = 6670\) км или \(6670000\) м), мы можем подставить их в уравнение и вычислить массу планеты (\(M\)):

\[M = \frac{{a \cdot r^2}}{{G}}\]

Теперь у нас есть значение массы планеты.

Чтобы найти период обращения спутника, мы можем использовать закон всемирного тяготения:

\[T = 2\pi \sqrt{\frac{{r^3}}{{G \cdot M}}}\]

где \(T\) - период обращения спутника.

Подставляем значения радиуса орбиты спутника (\(r = 6670\) км или \(6670000\) м) и полученное значение массы планеты (\(M\)) для расчета периода обращения спутника (\(T\)).

Объединяя все шаги решения вместе, мы получаем:

1. Расчет массы планеты:
\[
M = \frac{{a \cdot r^2}}{{G}}
\]

2. Расчет периода обращения спутника:
\[
T = 2\pi \sqrt{\frac{{r^3}}{{G \cdot M}}}
\]

Теперь, когда у нас есть все формулы и значения, давайте подставим численные значения и вычислим ответ.