Яка маса верхньої кульки, яка розташована на вертикальній діелектричній спиці на висоті 2 ми вище нижньої кульки, якщо

Pufik

44

Для решения этой задачи воспользуемся принципом сохранения энергии. Когда верхняя кулька опускается с высоты на вертикальной диэлектрической спице, ее потенциальная энергия превращается в кинетическую энергию и энергию электростатического взаимодействия зарядов.

Для начала определим потенциальную энергию системы зарядов до и после опускания верхней кульки.

До опускания:
В этом случае верхняя кулька имеет потенциальную энергию только из-за своего заряда \( q_1 \):

\[ U_1 = \frac{{k \cdot q_1 \cdot q_2}}{r_1}, \]

где \( k \) - постоянная Кулона (\( k = 9 \times 10^9 \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2 \)), \( r_1 \) - расстояние между кульками до опускания верхней.

После опускания:
В этом случае верхняя кулька будет иметь потенциальную энергию только из-за своего заряда \( q_1 \), а также кинетическую энергию:
\[ U_2 = \frac{{k \cdot q_1 \cdot q_2}}{r_2} + \frac{m \cdot v^2}{2}, \]

где \( r_2 \) - расстояние между кульками после опускания верхней, \( m \) - масса верхней кульки, \( v \) - её скорость.

По принципу сохранения энергии, потенциальная энергия до опускания должна быть равна сумме потенциальной и кинетической энергии после опускания:
\[ \frac{{k \cdot q_1 \cdot q_2}}{r_1} = \frac{{k \cdot q_1 \cdot q_2}}{r_2} + \frac{m \cdot v^2}{2}. \]

Так как кульки могут катиться без трения, их скорость равна скорости центра масс системы, и \( v \) можно выразить через разность потенциальных энергий:
\[ v = \sqrt{\frac{{2 \cdot (U_1 - U_2)}}{m}}. \]

Подставив это выражение для скорости в приведенную ранее формулу, получим:
\[ \frac{{k \cdot q_1 \cdot q_2}}{r_1} = \frac{{k \cdot q_1 \cdot q_2}}{r_2} + \frac{m}{2} \cdot \left(\frac{{2 \cdot (U_1 - U_2)}}{m}\right). \]

Упростим это выражение:
\[ \frac{{k \cdot q_1 \cdot q_2}}{r_1} = \frac{{k \cdot q_1 \cdot q_2}}{r_2} + U_1 - U_2. \]

Теперь найдем \( r_2 \):
\[ \frac{{k \cdot q_1 \cdot q_2}}{r_2} = \frac{{k \cdot q_1 \cdot q_2}}{r_1} + U_2 - U_1. \]

После преобразований получим:
\[ r_2 = \frac{{k \cdot q_1 \cdot q_2}}{{r_1 \cdot (U_2 - U_1)}}. \]

Так как кульки могут катиться без трения, расстояние \( r_2 \) также равно расстоянию между кульками после опускания верхней:
\[ r_2 = 2 \, \text{м} - r_1. \]

Теперь мы можем решить уравнение относительно массы \( m \):
\[ \frac{{k \cdot q_1 \cdot q_2}}{{r_1 \cdot (U_2 - U_1)}} = 2 \, \text{м} - r_1. \]

Теперь остается только решить это уравнение относительно \( m \) и выразить его массу.

Пожалуйста, прокомментируйте, если вы хотите подробное решение этого уравнения.