Яка механічна енергія м яча, коли він зі швидкістю 8 м/с влітає у ворота на висоті 1,8 м, наважачі?

Сладкая_Бабушка

45

Хорошо! Чтобы решить эту задачу, нам понадобится знание о законах сохранения механической энергии и кинетической энергии. Давайте приступим!

Перед тем как приступить к решению, обратимся к формулам, которые нам понадобятся:

1. Закон сохранения механической энергии:

Механическая энергия состоит из потенциальной и кинетической энергии и остается постоянной в отсутствие внешних сил:

\[E_{\text{начальная}} = E_{\text{конечная}}\]

2. Потенциальная энергия:

Потенциальная энергия связана с положением тела в гравитационном поле:

\[E_{\text{потенциальная}} = m \cdot g \cdot h\]

где \(m\) - масса тела (м"яча), \(g\) - ускорение свободного падения (примерно 9,8 м/с\(^2\)), \(h\) - высота тела над определенной точкой (в данном случае 1,8 м).

3. Кинетическая энергия:

Кинетическая энергия связана со скоростью тела и вычисляется по формуле:

\[E_{\text{кинетическая}} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2\]

где \(m\) - масса тела, \(v\) - скорость тела.

Теперь, приступим к решению задачи.

Для начала, нам нужно найти потенциальную энергию мяча на высоте 1,8 метра. Подставим известные значения в формулу:

\[E_{\text{потенциальная}} = m \cdot g \cdot h\]

Подставив \(g = 9,8 \, \text{м/с}^2\) и \(h = 1,8 \, \text{м}\), получим:

\[E_{\text{потенциальная}} = m \cdot 9,8 \, \text{м/с}^2 \cdot 1,8 \, \text{м}\]

Теперь, чтобы найти кинетическую энергию мяча, которая связана со скоростью, мы используем формулу:

\[E_{\text{кинетическая}} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2\]

Подставим \(v = 8 \, \text{м/с}\) и решим:

\[E_{\text{кинетическая}} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot (8 \, \text{м/с})^2\]

Теперь, мы знаем, что закон сохранения энергии выполняется:

\[E_{\text{начальная}} = E_{\text{конечная}}\]

То есть, механическая энергия мяча до входа в ворота (начальная) равна механической энергии мяча после входа в ворота (конечная). Таким образом, сумма потенциальной и кинетической энергии мяча до входа в ворота (начальная) равна кинетической энергии мяча после входа в ворота (конечная):

\[E_{\text{потенциальная}} + E_{\text{кинетическая}} = E_{\text{кинетическая}}\]

Теперь подставим известные значения и решим уравнение:

\[m \cdot 9,8 \, \text{м/с}^2 \cdot 1,8 \, \text{м} + \frac{1}{2} \cdot m \cdot (8 \, \text{м/с})^2 = \frac{1}{2} \cdot m \cdot (8 \, \text{м/с})^2\]

Далее, упростим уравнение:

\[m \cdot 9,8 \, \text{м/с}^2 \cdot 1,8 \, \text{м} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot (8 \, \text{м/с})^2\]

\[ m \cdot 9,8 \, \text{м/с}^2 \cdot 1,8 \, \text{м} = m \cdot (8 \, \text{м/с})^2 \cdot \frac{1}{2}\]

Для того чтобы найти массу мяча, домножим обе части уравнения на \(\frac{2}{(8 \, \text{м/с})^2}\). Упростим уравнение и решим его для \(m\):

\[ m \cdot 9,8 \, \text{м/с}^2 \cdot 1,8 \, \text{м} \cdot \frac{2}{(8 \, \text{м/с})^2} = m\]

\[m = 9,8 \, \text{м/с}^2 \cdot 1,8 \, \text{м} \cdot \frac{2}{(8 \, \text{м/с})^2}\]

Теперь, найдя массу мяча, мы можем найти механическую энергию мяча. Для этого мы подставим найденное значение массы мяча в формулу для кинетической энергии:

\[E_{\text{кинетическая}} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2\]

Подставив \(m\) и \(v\), получим:

\[E_{\text{кинетическая}} = \frac{1}{2} \cdot (9,8 \, \text{м/с}^2 \cdot 1,8 \, \text{м} \cdot \frac{2}{(8 \, \text{м/с})^2}) \cdot (8 \, \text{м/с})^2\]

Выполнив все необходимые вычисления, получаем ответ:

Механическая энергия мяча, когда он влетает в ворота на высоте 1,8 метра со скоростью 8 м/с составляет \[E_{\text{кинетическая}} = 15,12 \, \text{Дж}\].