Яка є мінімальна значення функції Y=x²-4x-5?

Наталья

62

Чтобы найти минимальное значение функции \( Y = x^2 - 4x - 5 \), мы можем использовать метод завершения квадрата или использовать метод дифференцирования. Рассмотрим оба способа.

1. Метод завершения квадрата:
Чтобы завершить квадрат, добавим и вычтем соответствующую константу внутри квадратного трехчлена. В данном случае, мы добавим и вычтем число 4:

\[ Y = x^2 - 4x - 5 + 4 - 4 \]
\[ Y = (x^2 - 4x + 4) - 9 \]
\[ Y = (x - 2)^2 - 9 \]

Теперь у нас есть функция в виде суммы квадратного трехчлена и константы. Минимальное значение такой функции достигается, когда квадратный трехчлен достигает своего минимального значения, то есть равен нулю. Таким образом, минимальное значение функции \( Y \) равно \(-9\), и достигается при \( x = 2 \).

2. Метод дифференцирования:
Чтобы найти минимальное значение функции, мы можем продифференцировать ее и найти точки экстремума. Дифференцируем функцию \( Y \):

\[ Y" = 2x - 4 \]

Для поиска точки экстремума приравняем \( Y" \) к нулю и решим уравнение:

\[ 2x - 4 = 0 \]
\[ 2x = 4 \]
\[ x = 2 \]

Чтобы проверить, является ли это точкой минимума, мы можем взять вторую производную и проверить ее знак. Вычислим вторую производную:

\[ Y"" = 2 \]

Так как вторая производная положительна, то мы можем утверждать, что точка \( x = 2 \) является точкой минимума.

Когда \( x = 2 \), значение функции \( Y \) равно:

\[ Y = 2^2 - 4 \cdot 2 - 5 = -9 \]

Таким образом, минимальное значение функции \( Y \) равно \(-9\), и достигается при \( x = 2 \).