1) Когда tgx=0.2, каково значение выражения 87/(3+4cos2x)? 2) Определить значение sin2x, если sin(x+π/4)=1/2. Решить

Тарас

8

Прекрасно! Давайте начнем с первой задачи.

1) Когда tgx=0.2, нужно найти значение выражения \( \frac{87}{3+4\cos(2x)} \).

Для начала, посмотрим на то, как можно выразить тангенс через синус и косинус:

\[ \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \]

Итак, у нас есть, что:

\[ \tan(x) = 0.2 \]

Теперь давайте разберемся с выражением \( \frac{87}{3+4\cos(2x)} \).

Мы можем заметить, что это выражение содержит косинус с удвоенным углом \( 2x \). Для этого, мы можем использовать тригонометрическую формулу:

\[ \cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x) \]

Теперь мы можем заменить \( \cos(2x) \) в исходном выражении:

\[ \frac{87}{3+4\cos(2x)} = \frac{87}{3+4(1-2\sin^2(x))} \]

Теперь давайте продолжим решение, иначе это выражение останется неупрощенным.

Для этого, нам необходимо найти значение синуса угла \( x \), так как мы знаем значение синуса угла \( \frac{\pi}{4} = \frac{1}{2} \).

Мы можем использовать формулу для синуса суммы углов:

\[ \sin(x+\frac{\pi}{4}) = \sin(x)\cos(\frac{\pi}{4}) + \cos(x)\sin(\frac{\pi}{4}) \]

Подставим известные значения и продолжим:

\[ \frac{1}{2} = \sin(x)\frac{\sqrt{2}}{2} + \cos(x)\frac{\sqrt{2}}{2} \]

Далее, мы можем заметить, что коэффициенты при синусе и косинусе являются одинаковыми, поэтому мы можем представить это выражение как:

\[ \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}(\sin(x) + \cos(x)) \]

Теперь давайте найдем значение выражения \( \sin(x) + \cos(x) \), чтобы выразить постановку задачи более точно.

Для этого, мы можем использовать формулу для синуса суммы углов и заметим, что \( \sin(\frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \).

Подставим эти значения и продолжим:

\[ (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \sin^2(x) + \cos^2(x) + 2\sin(x)\cos(x) \]

Раскроем скобки и упростим:

\[ \frac{1}{2} = \sin^2(x) + \cos^2(x) + \sin(2x) \]

Теперь, с учетом того, что \( \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \), мы можем выразить \( \sin(2x) \):

\[ \frac{1}{2} = 1 + \sin(2x) \]

\[ \sin(2x) = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2} \]

Итак, мы получили значение \( \sin(2x) = -\frac{1}{2} \).

Теперь, чтобы найти значение исходного выражения \( \frac{87}{3+4\cos(2x)} \), мы можем подставить \( \sin(2x) = -\frac{1}{2} \) вместо \( \cos(2x) \):

\[ \frac{87}{3+4\cos(2x)} = \frac{87}{3+4(-\frac{1}{2})} = \frac{87}{3-2} = \frac{87}{1} = 87 \]

Ответ: Значение выражения \( \frac{87}{3+4\cos(2x)} \) при \( tg(x) = 0.2 \) равно 87.

Продолжим смотреть следующий пример.