Яка площа чотирикутника ДЕFК, якщо площа трикутника авс дорівнює 18см2 і точки К і Д на стороні АВ такі, що АК=КД=ДВ

Ледяная_Сказка_2586

48

Добро пожаловать! Для решения этой задачи нам нужно определить форму четырехугольника DEFK и вычислить его площадь.

Поскольку треугольник АВС - равносторонний (так как АК=КД=ДВ и АF=FE=EC), мы можем разделить его на 4 равных треугольника, которые имеют одинаковую площадь.

Таким образом, площадь треугольника АВС составляет 18 см², а значит площадь одного из этих 4 равных треугольников также равна 18 см².

Теперь, чтобы найти площадь четырехугольника DEFK, нам нужно установить его форму. Рассмотрим, что точки К и Д находятся на стороне АВ, а точки F и Е находятся на стороне АС.

Тогда четырехугольник DEFK можно рассматривать как два треугольника: треугольник ДЕК и треугольник ДФК.

Поскольку точки К и Д на стороне АВ и АК=КД, треугольник ДЕК является прямоугольным треугольником прямоугольником, и его площадь равна половине произведения сторон, то есть \(\frac{1}{2} \cdot h \cdot d\), где \(h\) - высота треугольника (то есть сторона ВК) и \(d\) - длина основания треугольника (то есть сторона АВ). Но поскольку треугольник ДЕК равнобедренный, его высота равна высоте треугольника АВС, а значит равна \(\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot d\).

Таким образом, площадь треугольника ДЕК равна:
\[S_{\text{ДЕК}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot d \cdot d = \frac{\sqrt{3} \cdot d^2}{4}\].

Поскольку площадь одного из равных треугольников равна 18 см², мы можем записать:
\[S_{\text{ДЕК}} = 18\].

Подставляя это значение в предыдущее уравнение, получаем:
\[\frac{\sqrt{3} \cdot d^2}{4} = 18\].

Теперь можем решить это уравнение относительно \(d\):

\[\sqrt{3} \cdot d^2 = 72\],
\[d^2 = \frac{72}{\sqrt{3}}\].

Извлекая квадратный корень, получаем \(d\):
\[d = \sqrt{\frac{72}{\sqrt{3}}} = \sqrt{\frac{72 \cdot \sqrt{3}}{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}}\].

Таким образом, сторона АВ (и АС) равна \(\frac{12}{\sqrt{3}}\).

Теперь мы можем вычислить площадь всего четырехугольника DEFK, который состоит из двух равных треугольников ДЕК и ДФК:

\[S_{\text{DEFK}} = 2 \cdot S_{\text{ДЕК}} = 2 \cdot \frac{\sqrt{3} \cdot d^2}{4} = \frac{\sqrt{3} \cdot \left(\frac{12}{\sqrt{3}}\right)^2}{2} = \frac{3 \cdot 12^2}{2 \cdot 3} = 12^2 = 144\].

Таким образом, площадь четырехугольника DEFK равна 144 см².