Какова длина катета прямоугольного треугольника ABC? Угол C равен 90 градусам, и биссектриса AK в два раза больше

Aleksandrovich

64

Пусть длина гипотенузы AB равна \(c\), длина катета BC равна \(a\), а длина катета AC (искомая величина) равна \(b\).

Так как треугольник ABC - прямоугольный, то мы можем воспользоваться теоремой Пифагора: в квадрате длина гипотенузы равна сумме квадратов длин катетов. Таким образом, у нас есть следующее уравнение:

\[c^2 = a^2 + b^2 \ \ \ \ \ (1)\]

Теперь обратим внимание на условие задачи.

У нас есть угол C, который равен 90 градусам. Таким образом, треугольник ABC - прямоугольный.

Кроме того, мы знаем, что биссектриса AK в два раза больше, чем расстояние от точки K до прямой AB. Обозначим расстояние от точки K до прямой AB как \(x\). Тогда расстояние от точки K до прямой AK будет равно \(2x\).

Из условия задачи мы также знаем, что биссектриса AK делит угол C на два равных угла. Это означает, что треугольники KBC и KAC подобны.

Используем подобие треугольников для нахождения отношений между их сторонами.

\(\displaystyle \frac{a}{b} = \frac{{KB}}{{KA}}\)

Так как KB равно \(x\), а KA равно \(2x\), мы можем записать:

\(\displaystyle \frac{a}{b} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2} \ \ \ \ \ (2)\)

Теперь у нас есть два уравнения: уравнение (1), полученное с использованием теоремы Пифагора, и уравнение (2), полученное с использованием подобия треугольников.

Решим систему уравнений (1) и (2) для нахождения значений \(a\) и \(b\).

\[c^2 = a^2 + b^2\]
\[\frac{1}{2}a = b\]

Подставим значение \(b\) в первое уравнение:

\[c^2 = a^2 + \left(\frac{1}{2}a\right)^2\]

Упростим уравнение:

\[c^2 = a^2 + \frac{1}{4}a^2 = \frac{5}{4}a^2\]

Теперь найдем значение \(a\):

\[a^2 = \frac{4}{5} c^2\]
\[a = \sqrt{\frac{4}{5} c^2} = \frac{2}{\sqrt{5}} c\]

Таким образом, мы получили значение катета AC: \(b = \frac{2}{\sqrt{5}} c\).