Яка є площа області під кривою функції y=6x^2-6 та над віссю абсцис?

Lyalya

33

Для решения этой задачи необходимо найти площадь области под кривой функции \(y = 6x^2 - 6\) и над осью абсцисс.

Шаг 1: Найдем точки пересечения кривой с осью абсцисс. Для этого приравняем функцию \(y\) к нулю и решим уравнение:
\[6x^2 - 6 = 0\]

Шаг 2: Решим уравнение:
\[6x^2 - 6 = 0\]

Для упрощения уравнения, разделим его на 6:
\[x^2 - 1 = 0\]

Решим полученное уравнение:
\[x^2 = 1\]

Так как мы ищем только положительные значения \(x\), то \(x = 1\) или \(x = -1\).

Шаг 3: Найдем значение функции \(y\) в каждой из найденных точек:
Для \(x = 1\): \(y = 6 \cdot 1^2 - 6 = 6 - 6 = 0\)
Для \(x = -1\): \(y = 6 \cdot (-1)^2 - 6 = 6 - 6 = 0\)

Итак, кривая пересекает ось абсцисс в двух точках: \((-1, 0)\) и \((1, 0)\).

Шаг 4: Построим график функции \(y = 6x^2 - 6\):

\[
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
x & y \\
\hline
-2 & 18 \\
\hline
-1 & 0 \\
\hline
0 & -6 \\
\hline
1 & 0 \\
\hline
2 & 18 \\
\hline
\end{array}
\]

Шаг 5: Определим интервал, на котором лежит область под кривой. Из графика видно, что функция \(y = 6x^2 - 6\) положительна при \(x \in (-1, 1)\) и отрицательна при \(x \in (-\infty, -1) \cup (1, +\infty)\).

Шаг 6: Вычислим площадь области под кривой. Для этого воспользуемся определенным интегралом:

\[
\text{Площадь} = \int_{-1}^{1} (6x^2 - 6) \, dx
\]

Вычислим интеграл:

\[
\text{Площадь} = \left[2x^3 - 6x\right]_{-1}^{1} = (2 \cdot 1^3 - 6 \cdot 1) - (2 \cdot (-1)^3 - 6 \cdot (-1))
\]

\[
= (2-6)-(-2 -6) = -4 - (-8) = -4 + 8 = 4
\]

Итак, площадь области под кривой функции \(y=6x^2-6\) и над осью абсцисс равна 4.