Яка площа повної поверхні прямокутного паралелепіпеда, якщо його сторони дорівнюють 2 см і 5 см, а діагональ меншої

Звонкий_Эльф

9

Добро пожаловать! Давайте решим задачу о площади полной поверхности прямоугольного параллелепипеда.

Для начала, давайте определим размеры параллелепипеда. Из условия задачи мы знаем, что его стороны равны 2 см и 5 см. Обозначим эти стороны как \(a = 2\) см и \(b = 5\) см.

Теперь рассмотрим диагональ меньшей боковой грани параллелепипеда. Согласно условию, эта диагональ наклонена к плоскости основания под углом 45°.

Давайте найдем длину этой диагонали. Обозначим длину диагонали как \(d\). Мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длины диагонали при известных сторонах прямоугольника. В данном случае, будем искать гипотенузу треугольника, где катетами являются стороны прямоугольника. Формула для нахождения длины диагонали будет выглядеть следующим образом:

\[d = \sqrt{{a^2 + b^2}}\]

Подставим значения сторон параллелепипеда:

\[d = \sqrt{{2^2 + 5^2}} = \sqrt{{4 + 25}} = \sqrt{{29}}\]

Теперь у нас есть длина диагонали меньшей боковой грани параллелепипеда, которая равна \(\sqrt{{29}}\) см.

Так как диагональ наклонена к плоскости основания под углом 45°, получаем, что ребра параллелепипеда делают с основанием прямоугольника равносторонний треугольник.

Давайте посчитаем площадь поверхности этого треугольника. Площадь равностороннего треугольника можно найти, используя формулу:

\[S = \frac{{a^2\sqrt{{3}}}}{4}\]

где \(a\) - длина стороны равностороннего треугольника.

В данном случае, сторона треугольника равна длине диагонали \(d\), полученной ранее:

\[S = \frac{{(\sqrt{{29}})^2\sqrt{{3}}}}{4} = \frac{{29\sqrt{{3}}}}{4}\]

Теперь у нас есть площадь поверхности одной грани параллелепипеда, которая равна \(\frac{{29\sqrt{{3}}}}{4}\) квадратных сантиметров.

Так как параллелепипед имеет 6 граней, чтобы найти площадь полной поверхности, умножим полученное значение на количество граней:

\[S_{\text{{полная}}} = 6 \times \frac{{29\sqrt{{3}}}}{4} = \frac{{87\sqrt{{3}}}}{2}\]

Итак, площадь полной поверхности данного параллелепипеда равна \(\frac{{87\sqrt{{3}}}}{2}\) квадратных сантиметров.

Надеюсь, объяснение было понятным и подробным! Если у вас есть еще какие-либо вопросы, не стесняйтесь задавать.