Яка площа проекції квадрата, якого сторона дорівнює 4, на площину під кутом 60° до основної площини? ( Вказується

Delfin

48

Чтобы найти площадь проекции квадрата на плоскость, которая образует угол 60° с основной плоскостью, нам понадобится знать длину стороны квадрата.

Первым шагом найдем длину диагонали квадрата. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора. По определению, диагональ квадрата является гипотенузой прямоугольного треугольника, а его стороны - катетами.

Пусть \(a\) - сторона квадрата, тогда по теореме Пифагора:
\[a^2 + a^2 = d^2,\]
где \(d\) - длина диагонали. Подставляя значение стороны квадрата \(a = 4\), получаем:
\[2a^2 = d^2\]

Теперь найдем длину диагонали \(d\):
\[2 \cdot 4^2 = d^2\]
\[32 = d^2\]
\[d = \sqrt{32}\]

Далее, для поиска проекции квадрата на плоскость, приведем диагональ квадрата к первоначальному положению. То есть, разделим длину диагонали на косинус угла, образованного диагональю квадрата и плоскостью проекции.

Пусть \(d"\) - длина приведенной диагонали, \(d\) - длина первоначальной диагонали, а \(\theta\) - угол между диагональю и плоскостью проекции.

\[d" = \frac{d}{\cos(\theta)}\]

Так как косинус 60° равен \(1/2\), мы можем вычислить длину приведенной диагонали:
\[d" = \frac{\sqrt{32}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{32} \cdot 2 = 8\sqrt{2}\]

Наконец, чтобы найти площадь проекции квадрата, мы возведем длину приведенной диагонали в квадрат и умножим на косинус угла проекции:
\[S = (d")^2 \cdot \cos(\theta)\]
\[S = (8\sqrt{2})^2 \cdot \frac{1}{2}\]
\[S = 64 \cdot \frac{1}{2}\]
\[S = 32\]

Таким образом, площадь проекции квадрата, сторона которого равна 4, на плоскость, образующую угол 60° с основной плоскостью, равна 32.