Яка площа прямокутної трапеції, у якої основи дорівнюють 9 і 5 см, а діагональ ділить її гострий кут навпіл?

Дмитриевич

33

Щоб знайти площу прямокутної трапеції, у якої основи дорівнюють 9 і 5 см, а діагональ ділить її гострий кут навпіл, нам знадобиться використати деякі формули та властивості трапецій.

Спочатку ми можемо знайти висоту трапеції, використовуючи теорему Піфагора.

Для цього, давайте позначимо діагональ як \(d\), а висоту як \(h\). За теоремою Піфагора, сума квадратів довжин основ трапеції дорівнює квадрату її діагоналі. Таким чином, ми можемо записати наше рівняння:

\((9+5)^2 = d^2 + h^2\) (1)

Ми також знаємо, що діагональ ділить гострий кут трапеції навпіл. З цього факту ми можемо отримати дві рівності:

\(h = \frac{{9-5}}{2}\) (2)

\(h = \frac{{d}}{2}\) (3)

Тепер ми можемо прирівняти формули (2) та (3):

\(\frac{{9-5}}{2} = \frac{{d}}{2}\)

Потім можемо розв"язати це рівняння:

\(4 = d\)

Отже, ми знаходимо, що діагональ трапеції дорівнює 4 см.

Тепер ми можемо підставити значення діагоналі до рівняння (1) для знаходження висоти:

\((9+5)^2 = 4^2 + h^2\)

\(14^2 = 16 + h^2\)

\(196 = 16 + h^2\)

\(h^2 = 196 - 16\)

\(h^2 = 180\)

\(h = \sqrt{180}\)

Отже, висота трапеції дорівнює \(\sqrt{180}\) см.

Нарешті, ми можемо знайти площу трапеції, застосувавши наступну формулу:

\(S = \frac{{(a+b) \cdot h}}{2}\)

де \(a\) та \(b\) - довжини основ трапеції, а \(h\) - її висота.

Підставимо відомі значення до формули:

\(S = \frac{{(9+5) \cdot \sqrt{180}}}{2}\)

\(S = \frac{{14 \cdot \sqrt{180}}}{2}\)

\(S = \frac{{14 \cdot 6 \cdot 5}}{2}\)

\(S = 42 \cdot 5\)

\(S = 210\)

Отже, площа прямокутної трапеції дорівнює 210 квадратних сантиметрів.