Яка площа рівнобедреного трикутника ABC з основою AC, якщо точка А має координати (1 ,1 ,-2), точка С має координати

Вода

66

Щоб знайти площу рівнобедреного трикутника ABC, спочатку нам потрібно знайти координати точки B. Завдання вказує, що точка B знаходиться на осі аплікат, але не надані додаткові відомості, що дозволяють знайти її точні координати. Враховуючи це, ми можемо продовжити з розгляду двох можливих варіантів для положення точки B на осі аплікат, а потім обчислити площу трикутника для кожного варіанту.

Перший варіант: Нехай точка B має координати (b, 0, 0), де b - невідоме число.

Трикутник ABC - рівнобедрений, тому точки A і C мають однакові відстані від осі аплікат.

Використовуючи формулу відстані між двома точками в тривимірному просторі, ми можемо записати:

\(\sqrt{(1 - b)^2 + (1 - 0)^2 + (-2 - 0)^2} = \sqrt{(-3 - b)^2 + (3 - 0)^2 + (2 - 0)^2}\)

Розгортаючи обидві сторони рівняння, ми отримаємо:

\((1 - b)^2 + (1 - 0)^2 + (-2 - 0)^2 = (-3 - b)^2 + (3 - 0)^2 + (2 - 0)^2\)

\(b^2 - 2b + 1 + 1 + 4 = b^2 + 6b + 9 + 9 + 4\)

\(b^2 - 2b + 6 = b^2 + 6b + 22\)

Відкидаючи \(b^2\) обидві рівності наших чудових йменників, ми отримуємо:

\(-2b + 6 = 6b + 22\)

Прибираючи 6 з обох боків та групуючи білками, нашій внимательности слід проголубеться:

\(-8b = 16\)

Ділимо обидві частини на -8:

\(b = -2\)

Таким чином, координати точки B в цьому варіанті є (-2, 0, 0).

Розрахуємо тепер площу трикутника ABC з використанням знайдених координат:

Площа трикутника ABC = \(\frac{1}{2} \cdot \overline{AC} \cdot \overline{BE}\),

де \(\overline{AC}\) - відрізок між точками A і C, а \(\overline{BE}\) - висота, опущена з вершини B на основу AC.

\(\overline{AC} = \sqrt{(-3 - 1)^2 + (3 - 1)^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{16 + 4 + 16} = \sqrt{36} = 6\)

\(\overline{BE} = \sqrt{(-2 - 1)^2 + (0 - 1)^2 + (0 - (-2))^2} = \sqrt{9 + 1 + 4} = \sqrt{14}\)

Підставляючи отримані значення, ми отримуємо:

Площа трикутника ABC = \(\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot \sqrt{14} = 3\sqrt{14}\)

Отже, площа рівнобедреного трикутника ABC з основою AC, якщо точка А має координати (1, 1, -2), точка С має координати (-3, 3, 2), а точка В лежить на осі аплікат і має координати (-2, 0, 0), дорівнює \(3\sqrt{14}\).