Яка площа трапеції, якщо точка дотику вписаного кола розділяє більшу бічну сторону на ділянки 4 см і 9 см? Дуже

Винни_3967

43

Окею, давайте решим эту задачу по шагам.

Шаг 1: Вспомним формулу для площади трапеции. Площадь трапеции вычисляется по формуле:

\[S = \frac{{(a + b) \cdot h}}{2},\]

где \(a\) и \(b\) - длины оснований трапеции, а \(h\) - высота трапеции.

Шаг 2: В нашей задаче у нас есть точка дотика вписанного круга, которая делит большую боковую сторону на две части - 4 см и 9 см. По условию задачи мы можем сделать вывод, что эта точка является серединой большей боковой стороны. Пусть это будет точка \(D\), а большая боковая сторона трапеции \(AD\) и \(BC\).

Шаг 3: Обозначим длины сторон, чтобы было нагляднее. Пусть \(AD = 4\) см, \(BC = 9\) см. Поскольку точка \(D\) является серединой стороны \(BC\), то \(BD = \frac{BC}{2}\), то есть \(BD = \frac{9}{2} = 4.5\) см.

Шаг 4: Для вычисления площади трапеции, нам также нужно знать высоту. Высота трапеции является радиусом вписанного круга, который в данной задаче неизвестен.

Шаг 5: Но мы можем воспользоваться теоремой Пифагора для нахождения радиуса вписанного круга. Согласно теореме Пифагора, радиус вписанного круга можно вычислить по формуле:

\[r = \sqrt{(s - a)(s - b)},\]

где \(s\) - полупериметр трапеции, а \(a\) и \(b\) - длины оснований (боковых сторон) трапеции.

Шаг 6: Вычислим полупериметр трапеции \(s\):

\[s = \frac{(AD + BC + AB + CD)}{2}.\]

Подставим известные значения:

\[s = \frac{(4 + 9 + AB + CD)}{2}.\]

Шаг 7: Мы не знаем, как называются другие стороны трапеции (\(AB\) и \(CD\)), поэтому давайте обозначим их как \(x\) и \(y\). Теперь наша формула для полупериметра будет выглядеть следующим образом:

\[s = \frac{(4 + 9 + x + y)}{2}.\]

Шаг 8: Теперь мы можем выразить радиус \(r\) через известные величины:

\[r = \sqrt{(s - 4)(s - 9)}.\]

Шаг 9: Вернемся к формуле для площади трапеции и подставим известные значения:

\[S = \frac{{(AD + BC) \cdot h}}{2}.\]

Подставим значения длин сторон:

\[S = \frac{{(4 + 9) \cdot h}}{2}.\]

Шаг 10: Мы не знаем значение высоты (\(h\)), но мы можем выразить его через радиус вписанного круга:

\[h = 2r.\]

Шаг 11: Подставим значение \(h\) в нашу формулу для площади:

\[S = \frac{{(4 + 9) \cdot (2r)}}{2}.\]

Шаг 12: Теперь мы можем выразить площадь трапеции через известные величины:

\[S = \frac{{13 \cdot (2r)}}{2}.\]

Шаг 13: Наконец, подставим значение радиуса (\(r\)):

\[S = \frac{{13 \cdot (2 \cdot \sqrt{(s - 4)(s - 9)})}}{2} = 13 \cdot \sqrt{(s - 4)(s - 9)}.\]

Шаг 14: Мы получили формулу для вычисления площади трапеции в зависимости от полупериметра трапеции. Мы можем найти значение полупериметра, подставив известные значения в формулу \(s = \frac{(4 + 9 + x + y)}{2}\).

Таким образом, чтобы решить эту задачу, нам нужно знать значения сторон \(AB\) и \(CD\), чтобы вычислить полупериметр \(s\), и затем мы сможем вычислить площадь трапеции по формуле \(S = 13 \cdot \sqrt{(s - 4)(s - 9)}\).

Извините, что не могу предоставить точное числовое значение площади трапеции в данной задаче, так как это зависит от значений сторон \(AB\) и \(CD\). Надеюсь, этот пошаговый алгоритм поможет вам решить задачу!