Яка повинна бути довжина прямокутника в метрах, при якій площа ділянки буде максимальною, якщо її обгородити парканом

Букашка_2098

65

Чтобы определить необходимую длину прямоугольника, чтобы получить максимальную площадь участка, нам нужно использовать формулу для площади прямоугольника, которая выглядит следующим образом:

\[ Площадь = длина \times ширина \]

Обозначим длину прямоугольника как \( x \), а ширину как \( y \). Мы знаем, что периметр участка (обжитий парканом) равен 160 метров. Поэтому у нас есть уравнение:

\[ 2x + 2y = 160 \]

Упростив это уравнение, мы получаем:

\[ x + y = 80 \]

Теперь мы можем решить его относительно одной из переменных. Давайте решим его относительно \( y \):

\[ y = 80 - x \]

Теперь мы можем подставить это значение \( y \) в формулу площади прямоугольника:

\[ Площадь = x \times (80 - x) \]

Используя квадратное уравнение, мы можем найти максимальную площадь.

Поскольку нам нужно найти площадь, равную 1% от наибольшей площади участка, найдем эту площадь. Назовем ее \( A_{\text{max}} \):

\[ A_{\text{max}} = x \times (80 - x) \]

Теперь найдем 1% от этой площади:

\[ A_{1\%} = \frac{1}{100} \times A_{\text{max}} \]

Теперь у нас есть все необходимые формулы. Давайте перейдем к решению этого квадратного уравнения, чтобы найти длину \( x \).

\[ A_{\text{max}} = x \times (80 - x) \]

Откроем скобки:

\[ A_{\text{max}} = 80x - x^2 \]

Теперь мы знаем, что максимальное значение площади будет достигаться, когда ее производная равна нулю. Возьмем производную от \( A_{\text{max}} \) и прировняем ее к нулю:

\[ \frac{dA_{\text{max}}}{dx} = 80 -2x = 0 \]

\[ -2x = -80 \]

\[ x = 40 \]

Таким образом, длина прямоугольника должна составлять 40 метров, чтобы получить максимальную площадь участка.

Теперь найдем площадь \( A_{1\%} \):

\[ A_{1\%} = \frac{1}{100} \times (40 \times (80 - 40)) \]

\[ A_{1\%} = \frac{1}{100} \times (40 \times 40) \]

\[ A_{1\%} = \frac{1}{100} \times 1600 \]

\[ A_{1\%} = 16 \]

Таким образом, площадь, равная 1% от максимальной площади участка, составляет 16 метров квадратных.