Яка різниця між довжиною твірної та висотою конуса, якщо кут між ними становить 60°? Яка буде площа бічної поверхні

Ящерка

44

Щоб розв"язати цю задачу, спочатку розпочнемо з визначення довжини твірної та висоти конуса.

Довжиною твірної розуміється відрізок, який з"єднує вершину конуса з точкою на круговому основанні, але не проходить через центр основання. Висотою ж конуса називається відрізок, який з"єднує вершину конуса з центром основання.

Задано, що кут між довжиною твірної та висотою конуса становить 60°.

Тепер, ми можемо відповісти на перше питання: яка різниця між довжиною твірної та висотою конуса. Оскільки кут між твірною та висотою становить 60°, то ми можемо скористатися трикутником, утвореним вершиною конуса, центром основання та точкою перетину твірної та висоти. Цей трикутник є рівностороннім, оскільки всі його сторони рівні.

Отже, різниця між довжиною твірної та висотою конуса дорівнює половині довжини твірної. Тобто, якщо позначити довжину твірної як \(l\), то різниця між довжиною твірної та висотою конуса дорівнює \(\frac{l}{2}\).

Тепер перейдемо до другого питання: яка буде площа бічної поверхні конуса.

Бічна поверхня конуса складається з усіх трикутників, утворених кожною стороною основання та висотою конуса. Ми вже визначили, що кут між довжиною твірної та висотою дорівнює 60°, тому кожен з цих трикутників є рівностороннім.

Отже, щоб знайти площу бічної поверхні конуса, треба знайти площу одного з цих трикутників і перемножити її на кількість таких трикутників на циліндрі.

Площа рівностороннього трикутника може бути знайдена за формулою:

\[S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\]

де \(a\) - довжина сторони рівностороннього трикутника.

Оскільки трікутник є рівностороннім, сторона \(a\) рівна довжині твірної, тому можемо записати формулу для площі бічної поверхні \(S_{bp}\):

\[S_{bp} = \frac{l^2\sqrt{3}}{4}\]

Для знаходження площі бічної поверхні конуса, треба врахувати кількість таких рівносторонніх трикутників. На конусі існує лише одна рівностороння сторона основання, тому кількість таких трикутників дорівнює кількості сторін основання, тобто 3.

Тому, площа бічної поверхні конуса \(S_{bp}\) буде:

\[S_{bp} = 3 \cdot \frac{l^2\sqrt{3}}{4}\]

Надіюся, що цей детальний розгорнутий відповідь зрозуміла для вас.