Яка різниця радіусів двох кол, одне з яких описане навколо правильного трикутника, а друге вписане, дорівнює

Андрей

27

Давайте разберемся с задачей. У нас есть два круга: один описанный вокруг правильного треугольника и второй - вписанный в него. Мы хотим найти разность их радиусов, которая равна \( m \).

Для начала, вспомним основные свойства и определения описанных (окружность, которая проходит через все вершины треугольника) и вписанных (окружность, которая касается всех сторон треугольника) окружностей треугольника.

Пусть \( R \) - радиус описанной окружности и \( r \) - радиус вписанной окружности.

Теперь рассмотрим треугольник, вписанный в окружность радиуса \( R \). Внутри этого треугольника мы можем провести высоту \( h \) из вершины на основание. По свойству высоты, она перпендикулярна основанию и делит его на две равные части.

Так как данный треугольник является правильным, то его основание равно стороне треугольника и равно \( h \). Тогда, получаем, что высота равностороннего треугольника равна \( h = s \).

Потому что \( h \) это высота треугольника, которая является и радиусом вписанной окружности, то есть \( r = h = s \). Здесь, \( s \) – сторона треугольника, радиус описанной. Получается, что радиус описанной окружности равняется стороне треугольника.

Теперь мы можем перейти к поиску разности радиусов.

Из свойства описанной окружности мы знаем, что радиус описанной окружности равен половине диагонали равнобедренного треугольника. Диагональ равнобедренного треугольника равна \( 2R \), потому что мы имеем два радиуса описанной окружности, соединенных с противоположными вершинами треугольника.

Таким образом, получаем, что: \( 2R = s \).

Если мы знаем, что \( r = s \), то можем найти радиус вписанной окружности: \( r = m \).

Теперь можем перейти к нахождению стороны треугольника. Используем формулу для одного из свойств равнобедренных треугольников: \( a = d \sqrt{2} \), где \( a \) - сторона треугольника, \( d \) - диагональ равнобедренного треугольника.

Подставляем известные значения и находим: \( s = 2R = d \sqrt{2} \). Раскроем скобки и получим: \( s = R \sqrt{2} \).

Теперь мы знаем, что \( s = R \sqrt{2} \) и \( 2R = s \). Заменяем \( s \) во втором уравнении и находим \( R \):

\[ 2R = R \sqrt{2} \Rightarrow R(\sqrt{2} - 2) = 0 \]

Поскольку радиус не может быть равен нулю, то получаем, что \( \sqrt{2} - 2 = 0 \).

Решив это уравнение, мы получаем значение \( R \):

\[ R = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \]

Теперь у нас есть значение радиуса описанной окружности. Что еще нам нужно сделать, чтобы найти стороны треугольника?

Для этого используем формулу для равностороннего треугольника: \( A = \frac{s^2\sqrt{3}}{4} \), где \( A \) - площадь треугольника, \( s \) - его сторона.

Мы знаем, что площадь равностороннего треугольника равна площади круга с радиусом \( R \), содержащего данный треугольник. Тогда, \( A = \pi R^2 \).

Теперь мы можем выразить сторону \( s \):

\[ \pi R^2 = \frac{s^2\sqrt{3}}{4} \Rightarrow s = \sqrt{\frac{4\pi R^2}{\sqrt{3}}} \]

Заменяем значение радиуса \( R \):

\[ s = \sqrt{\frac{4\pi(\sqrt{2})^2}{\sqrt{3}}} = \sqrt{\frac{4\pi \cdot 2}{\sqrt{3}}} \]

Упрощаем выражение:

\[ s = \sqrt{\frac{8\pi}{\sqrt{3}}} = \sqrt{\frac{8\pi \cdot \sqrt{3}}{3}} = \sqrt{\frac{8\pi \sqrt{3}}{3}} \]

Таким образом, сторона треугольника равна \( s = \sqrt{\frac{8\pi \sqrt{3}}{3}} \).

В итоге, разность радиусов равна \( m = R - r = \sqrt{2} - m \).

Сторона треугольника равна \( s = \sqrt{\frac{8\pi \sqrt{3}}{3}} \).