Каков радиус окружности, вписанной в правильный четырёхугольник, если длина его диагонали равна корню

Tayson_6967

1

Чтобы найти радиус окружности, вписанной в правильный четырёхугольник, мы можем использовать знания о свойствах окружности и четырёхугольника.

Правильный четырёхугольник - это четырёхугольник, у которого все стороны равны, а все углы прямые (90 градусов).

Пусть сторона четырёхугольника равна \(a\).

Также известно, что длина диагонали равна корню из 2. Диагональ четырёхугольника - это отрезок, соединяющий противоположные вершины.

Поскольку наш четырёхугольник является правильным, то его диагонали перпендикулярны и делятся пополам радиусом вписанной окружности.

Используем свойства прямоугольного треугольника, возникающего при соединении точки пересечения диагоналей с вершинами четырёхугольника. Рассмотрим прямоугольный треугольник со сторонами \(a\), \(a\) и \(r\), где \(r\) - радиус вписанной окружности.

Применим теорему Пифагора к этому треугольнику:

\[a^2 + a^2 = r^2\]

\[2a^2 = r^2\]

Теперь найдём значение радиуса, подставив известное значение диагонали четырёхугольника, равное \(\sqrt{2}\):

\[2a^2 = (\sqrt{2})^2\]

\[2a^2 = 2\]

\[a^2 = 1\]

\[a = 1\]

Таким образом, сторона четырёхугольника равна 1. А поскольку радиус окружности делит сторону пополам, радиус вписанной окружности также равен \(0.5\).

Итак, радиус окружности, вписанной в правильный четырёхугольник, равен \(0.5\).