Яка сума бескінечної геометричної прогресії bn, якщо b1 + b3 = 20 і b2 + b4

Anatoliy_7329

69

Для решения данной задачи требуется знать формулу для суммы бесконечной геометрической прогрессии. Формула записывается следующим образом:

\[ S = \frac{a}{1-r} \]

где S - сумма геометрической прогрессии, a - первый элемент прогрессии, r - знаменатель прогрессии.

Дано, что \( b1 + b3 = 20 \) и \( b2 + b4 \).

Для начала определим первый и второй члены прогрессии. Из условия задачи имеем:

\[ b1 + b3 = 20 \]
\[ b1 + b1 \cdot r^{2} = 20 \]
\[ b1(1 + r^{2}) = 20 \]

Теперь выразим \( b2 \) и \( b4 \) через \( b1 \) и \( r \):

\[ b2 = b1 \cdot r \]
\[ b4 = b1 \cdot r^{3} \]

Используя второе условие задачи, получаем:

\[ b1 \cdot r + b1 \cdot r^{3} = 20 \]
\[ b1 \cdot r(1 + r^{2}) = 20 \]

Теперь у нас есть два уравнения:

\[ \begin{cases}
b1(1 + r^{2}) = 20 \\
b1 \cdot r(1 + r^{2}) = 20
\end{cases}
\]

Осталось решить систему уравнений. Разделим первое уравнение на второе:

\[ \frac{b1(1 + r^{2})}{b1 \cdot r(1 + r^{2})} = 1 \]
\[ \frac{1 + r^{2}}{r(1 + r^{2})} = 1 \]

Упростим выражение:

\[ \frac{1}{r} = 1 \]
\[ r = 1 \]

Теперь подставим найденное значение \( r \) в любое из уравнений, например, первое:

\[ b1(1 + 1^{2}) = 20 \]
\[ b1 \cdot 2 = 20 \]
\[ b1 = 10 \]

Итак, мы нашли первый элемент прогрессии \( b1 = 10 \) и знаменатель прогрессии \( r = 1 \).

Теперь, используя формулу для суммы геометрической прогрессии, найдем сумму \( S \):

\[ S = \frac{10}{1-1} \]
\[ S = 10 \]

Таким образом, сумма бесконечной геометрической прогрессии \( bn \) равна 10.