Яка величина радіуса меншого кола, якщо два кола дотикаються ззовні в точці Р і хорди, які з єднують точку Р з точками

Глеб

50

Добрый день! Давайте решим данную задачу.

Пусть \(r\) - радиус меньшего круга, \(R\) - радиус большего круга.

Мы знаем, что два круга дотикаются в точке \(P\), а хорды, соединяющие точку \(P\) с точками касания одной из общих внешних касательных, имеют длину 6 см.

В данной задаче у нас есть теорема о касательных и хордах, которую мы можем использовать. Согласно этой теореме, если две хорды пересекаются внутри круга, то произведение отрезков хорд равно произведению отрезков хорд, охватывающих их.

Применим эту теорему к нашей задаче. У нас есть хорда длиной 6 см ($h1$), и она пересекает другую хорду на расстоянии, равном радиусу меньшего круга ($r$). Поскольку хорда пересекает другую хорду, мы можем записать:

\[6 \cdot x = r \cdot R\] (1)

где \(x\) - расстояние между точкой пересечения хорд и точкой касания одной из внешних касательных.

Также у нас имеется теорема Пифагора для прямоугольного треугольника. В нашей задаче треугольник \(PQR\) прямоугольный, так как радиуси, касательные и хорды, соединяющие точку касания одной из внешних касательных с точкой пересечения хорд, являются взаимно перпендикулярными.

Мы можем применить теорему Пифагора к треугольнику \(PQR\):

\[QR^2 = PQ^2 + PR^2\] (2)

Мы знаем, что радиус большего круга (\(R\)) равен сумме радиуса меньшего круга (\(r\)) и расстояния между центрами двух кругов (\(x\)). Таким образом, \(R = r + x\).

Подставим это значение в формулу (2):

\[(r + x)^2 = r^2 + PR^2\] (3)

Теперь у нас есть две уравнения (1) и (3), и мы можем использовать их для решения задачи.

Разрешите мне решить уравнение (1) относительно \(x\):

\[6 \cdot x = r \cdot R\]

\[6x = r(r + x)\]

\[6x = r^2 + rx\]

\[5x = r^2\] (4)

Теперь, используя уравнение (4), запишем уравнение (3) с подстановкой:

\[(r + x)^2 = r^2 + PR^2\]

\[(r + x)^2 = r^2 + (6)^2\]

\[r^2 + 2rx + x^2 = r^2 + 36\]

\[2rx + x^2 = 36\]

Теперь мы можем подставить \(x\) из уравнения (4):

\[2r \cdot \frac{r^2}{5} + \frac{r^2}{5} = 36\]

\[2r^3 + r^2 = 180\]

\[2r^3 + r^2 - 180 = 0\]

Уравнение выше - это кубическое уравнение относительно \(r\). Решим его, используя методы решения кубических уравнений. К счастью, действует теорема о рациональных корнях, которую мы можем использовать для поиска целочисленных решений этого уравнения.

Подставим несколько целых значений \(r\) в уравнение, начиная с \(r = 1\), и найдем рациональные корни. Когда \(r = 5\), мы получаем 0 в левой части уравнения, что означает, что \(r = 5\) является одним из решений. Поделим уравнение на \(r - 5\) и найдем оставшуюся квадратную часть уравнения. Мы можем найти другие два рациональных решения: \(r = -6\) и \(r = 15\). Отрицательное значение радиуса не имеет смысла в данной задаче, поэтому отбрасываем \(r = -6\) и получаем \(r = 15\) как окончательное решение.

Таким образом, радиус меньшего круга равен 15.