Яка відстань між основами похилих, якщо з точки, розташованої на відстані 5 см від площини а, проведені дві похилі

Светлячок_В_Ночи

63

Щоб вирішити дану задачу, нам знадобиться скористатися тригонометрією.

Ми можемо розділити велику трикутник на два прямокутні трикутники згідно з віссю, що є перпендикулярною до площини a. Позначимо одну з похилих як b, а іншу як c.

Враховуючи, що відстань відточки до площини - це гіпотенуза утвореного прямокутного трикутника, маємо:
\[\sin(45^\circ) = \frac{5}{b}\]
\[\sin(60^\circ) = \frac{5}{c}\]

Ми знаємо, що \(\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\) та \(\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\), тому ми можемо записати нашу систему рівнянь:
\[\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{5}{b}\]
\[\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{5}{c}\]

З цієї системи рівнянь ми можемо знайти значення b та c. Давайте розглянемо перше рівняння:
\[\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{5}{b}\]

Промножимо обидві частини на b, щоб позбутися від знаменника:
\[\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot b = \frac{5}{b} \cdot b\]

Спростивши, отримаємо:
\[\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot b = 5\]

Тепер, щоб знайти значення b, домножимо обидві частини на \(\frac{2}{\sqrt{2}}\):

\[b = 5 \cdot \frac{2}{\sqrt{2}}\]

Спростивши, отримаємо:
\[b = \frac{10}{\sqrt{2}} = \frac{10\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}\]

Розглянемо друге рівняння:
\[\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{5}{c}\]

Промножимо обидві частини на c:
\[\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot c = \frac{5}{c} \cdot c\]

Спростивши, отримаємо:
\[\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot c = 5\]

Тепер, щоб знайти значення c, домножимо обидві частини на \(\frac{2}{\sqrt{3}}\):

\[c = 5 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}\]

Спростивши, отримаємо:
\[c = \frac{10}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{3}\]

Отже, відстань між основами похилих дорівнює \(b + c\):
\[b + c = 5\sqrt{2} + \frac{10\sqrt{3}}{3}\]

Це є остаточним відповіддю на задачу.