Яка висота конуса, якщо радіус його основи дорівнює 12 і кут у вершині осьового перерізу становить 120°?

Yabloko_2683

52

Для решения этой задачи, мы можем использовать геометрические свойства конуса. Одно из таких свойств гласит, что вершина осевого сечения конуса делит высоту конуса пропорционально радиусам основы осевого сечения и полной основы.

Пусть \( h \) - это высота конуса, \( r \) - радиус основы осевого сечения, и \( R \) - полный радиус основы.

В данной задаче, радиус основы равен 12, то есть \( r = 12 \). Угол в вершине осевого сечения равен 120°.

Для решения задачи, нам необходимо найти высоту конуса \( h \).

Для начала, мы можем найти полный радиус основы конуса \( R \). В конусе, диаметр основы равен двукратному радиусу основы осевого сечения, поэтому:

\[ R = 2 \cdot r = 2 \cdot 12 = 24 \]

Теперь мы можем найти отношение между высотой конуса \( h \) и радиусом основы осевого сечения \( r \). Данное отношение равно тангенсу половинного угла в вершине осевого сечения:

\[ \tan\left(\frac{120°}{2}\right) = \tan(60°) = \sqrt{3} \]

Зная это отношение, мы можем записать пропорцию между высотой \( h \) и радиусом основы \( r \):

\[ \frac{h}{r} = \frac{\sqrt{3}}{1} \]

Подставляя известное значение радиуса \( r = 12 \), мы можем решить пропорцию и найти высоту конуса \( h \):

\[ h = \sqrt{3} \cdot r = \sqrt{3} \cdot 12 = 12\sqrt{3} \]

Таким образом, высота конуса равна \( 12\sqrt{3} \) единицам.

Я надеюсь, что данное пошаговое решение помогло вам понять, как получить ответ на эту задачу.