Яка висота проведена до гіпотенузи прямокутного трикутника, якщо один з катетів дорівнює 8 см, а протилежний кут

Черная_Медуза

24

Для решения этой задачи нам понадобится тригонометрия и в особенности теорема синусов. Давайте начнем с того, что обозначим противоположный катет как \(a\), гипотенузу как \(c\) и высоту, которую нам необходимо найти, как \(h\). Используя теорему синусов, мы можем написать следующее соотношение:

\[\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}\]

где \(A\) - угол при прямом туплый, \(C\) - противоположный ему угол (в нашем случае 60 градусов).

Если мы подставим известные значения в данное соотношение, получим:

\[\frac{8}{\sin A} = \frac{c}{\sin 60^\circ}\]

Теперь давайте найдем значения синусов, используя таблицу значений тригонометрических функций для углов 30 и 60 градусов.

\(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

Теперь мы можем продолжить вычисления:

\[\frac{8}{\sin A} = \frac{c}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\]

Умножим оба выражения на \(\frac{2}{\sqrt{3}}\), чтобы избавиться от дробей:

\[\frac{16\sqrt{3}}{3\sin A} = c\]

Теперь мы знаем, что \(c\) является значением гипотенузы, а \(h\) - высотой, проведенной к гипотенузе, а высота делит прямоугольный треугольник на два меньших треугольника, подобных исходному. Следовательно, отношение высоты к гипотенузе в этих треугольниках будет одинаковым.

Мы можем записать это соотношение для наших значений:

\[\frac{h}{c} = \frac{a}{c}\]

Подставив значения, получим:

\[\frac{h}{16\sqrt{3}/3\sin A} = \frac{8}{c}\]

Теперь можем решить это соотношение относительно \(h\). Умножим оба выражения на \(\frac{c}{8}\):

\[\frac{1}{2\sqrt{3}\sin A} = \frac{h}{8}\]

Используя теорему синусов, мы знаем, что \(\sin A = \frac{a}{c} = \frac{8}{c}\). Подставим это значение:

\[\frac{1}{2\sqrt{3}\cdot\frac{8}{c}} = \frac{h}{8}\]

Упростим:

\[\frac{c}{16\sqrt{3}} = \frac{h}{8}\]

Умножим оба выражения на \(\frac{16\sqrt{3}}{8}\):

\[\frac{c\cdot16\sqrt{3}}{16\sqrt{3}} = h\]

Итак, получаем:

\[h = c\]

То есть, высота проведенная к гипотенузе равна самой гипотенузе.

Подставим значение гипотенузы \(c\) из предыдущего выражения:

\[h = \frac{16\sqrt{3}}{3\sin A}\]

Мы можем определить значение \(\sin A\) с помощью теоремы Пифагора, так как у нас есть значения катета и гипотенузы:

\[\sin A = \sqrt{1 - \sin^2 60^\circ} = \sqrt{1 - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}\]

Подставим это значение:

\[h = \frac{16\sqrt{3}}{3\cdot\frac{1}{2}} = \frac{32\sqrt{3}}{3}\]

Таким образом, высота, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна \(\frac{32\sqrt{3}}{3}\) сантиметра.

Расшифруем шаги решения еще раз:

1. Обозначим катет как \(a\), гипотенузу как \(c\) и искомую высоту как \(h\).
2. Применим теорему синусов \(\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}\).
3. Подставим значения \(a\), \(\sin A\) и \(\sin C\).
4. Упростим выражение и решим его относительно \(h\).
5. Подставим известное значение \(\sin A\) и вычислим результат.
6. Получаем, что \(h = \frac{32\sqrt{3}}{3}\) сантиметра.