Яке бічне ребро піраміди, висота якої 12см, призводить до того, що в основі піраміди лежить прямокутник з діагоналлю

Sherhan

47

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать свойства прямоугольных треугольников и пирамиды.

Из условия задачи известно, что высота пирамиды равна 12 см. Пусть \(a\) и \(b\) - стороны прямоугольника основания пирамиды, а \(c\) - боковое ребро пирамиды.

Также известно, что диагональ прямоугольника основания равна 10 см. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный одной из сторон прямоугольника основания и боковым ребром пирамиды.

По теореме Пифагора, в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В данном случае гипотенузой является одна из сторон прямоугольника основания, а катетом - боковое ребро пирамиды.

Таким образом, у нас есть уравнение:

\[a^2 + b^2 = c^2\]

Зная, что высота пирамиды равна 12 см, мы можем составить второе уравнение, используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного боковым ребром пирамиды, высотой пирамиды и отрезком, лежащим на основании пирамиды:

\[(a/2)^2 + (b/2)^2 = 12^2\]

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными \(a\) и \(b\). Решим эту систему уравнений.

Сначала разложим второе уравнение:

\[\frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4} = 144\]

Перемножим оба уравнения на 4, чтобы избавиться от знаменателей:

\[4a^2 + 4b^2 = 400\]

Теперь сложим это уравнение с первым уравнением:

\[a^2 + b^2 + 4a^2 + 4b^2 = c^2 + 400\]

\[5a^2 + 5b^2 = c^2 + 400\]

С учетом свойства пирамиды, что сумма квадратов длины двух боковых ребер равна квадрату длины основания:

\[2(a^2 + b^2) = c^2\]

\[2c^2 = c^2 + 400\]

\[c^2 = 400\]

\[c = \sqrt{400} = 20\]

Таким образом, боковое ребро пирамиды равно 20 см.