Яке бічне ребро правильної трикутної піраміди має довжину 10 см і утворює кут 30° з її висотою? Знайдіть площу перерізу

Яхонт

56

Поставимо задачу розглядаючи трикутник SNK. Оскільки бічне ребро піраміди має довжину 10 см і утворює кут 30° з висотою, ми вже знаємо дві сторони трикутнику SNK.

Давайте позначимо сторони трикутника SNK. Нехай сторона NK позначається як a і сторона NS позначається як b.

Згідно властивостей відрізків, які перетинаються, ми знаємо, що \(NK\) паралельна до \(AC\).

Так як трикутник SNK є прямокутним, ми можемо застосувати теорему Піфагора, щоб знайти третю сторону трикутника, площа перерізу SNK. Теорема Піфагора говорить нам, що сума квадратів довжин катетів трикутника дорівнює квадрату гіпотенузи. У нашому випадку, катети це сторони a і b, і гіпотенуза це сторона NK. Тому, ми маємо наступну рівність:

\[a^2 + b^2 = NK^2\]

Також, нам відомо, що сторона NK має довжину 10 см. Тому, ми можемо записати:

\[a^2 + b^2 = 10^2\]
\[a^2 + b^2 = 100\]

Ми також знаємо, що кут, утворений бічним ребром і висотою, складає 30°. Ми можемо застосувати тригонометричні співвідношення для прямокутних трикутників для знаходження сторін трикутника SNK.

А саме, у нас є протилежна сторона \(NS\) і гіпотенуза \(NK\), тому ми застосуємо функцію синуса. Формула для цього випадку буде:

\[\sin(30°) = \dfrac{NS}{NK}\]

Розкривши синус 30°, ми маємо:

\[\dfrac{1}{2} = \dfrac{NS}{10}\]

Множимо обидві сторони на 10, щоб виразити \(NS\):

\[5 = NS\]

Тепер ми знаємо, що сторона \(NS\) має довжину 5 см.

Тепер можемо підставити отримані значення в формулу площі перерізу SNK:

\[Площа = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot b\]

\[Площа = \dfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot 10\]

\[Площа = 25\]

Таким чином, площа перерізу SNK дорівнює 25 квадратним сантиметрам.

Важливо відзначити, що наше рішення засновано на припущенні, що трикутник SNK є прямокутним. Якщо це не так, результат може бути іншим. Однак, за умов задачі, ми можемо припустити, що це прямокутний трикутник.