Яке довжину хвилі має монохроматичний світловий промінь, який нормально падає на ґратку з періодом 4 мкм, якщо

Zhuravl_4926

34

Для розв"язання цієї задачі, спочатку будемо використовувати формулу для обчислення довжини хвилі світла, яка проходить через ґратку. Формула має вигляд:

\[d\sin\theta = m\lambda.\]

У цій формулі:
- \(d\) - період ґратки (4 мкм або \(4 \times 10^{-6}\) метрів),
- \(\theta\) - кут відхилення спектру,
- \(m\) - порядок спектра,
- \(\lambda\) - довжина хвилі.

Ми знаємо, що кут між спектрами другого (\(m=2\)) та третього (\(m=3\)) порядків становить 2°30′ (або \(2.5^\circ\)). Використовуючи цю інформацію, ми можемо записати дві рівняння:

\[d\sin\theta_2 = 2\lambda\] (1)
\[d\sin\theta_3 = 3\lambda\] (2)

Ми хотіли б знайти значення довжини хвилі \(\lambda\) для монохроматичного світлового променя.

Оскільки нам дано, що відхилення кутів незначні, ми можемо припустити, що \(\sin\theta_2 \approx \sin\theta_3 \approx \sin\theta\). Тепер подамо вираз для періоду ґратки \(d\) через відому довжину хвилі \(\lambda\) та кількість інтервалів \(N\) в періоді:

\[d = \frac{\lambda}{N}.\]

В нашому випадку, \(N = \frac{1}{4 \times 10^{-6}} = 2.5 \times 10^5\). Ми можемо використати це значення, щоб виразити \(\sin\theta\) у рівн. (1) та (2):

\[\sin\theta \approx \sin\theta_2 \approx \sin\theta_3 \approx \sin(2°30′) = \sin(2.5^\circ).\]

Тепер розв"яжемо систему рівнянь (1) та (2) для \(\lambda\):

\[d\sin\theta_2 = 2\lambda \Rightarrow \frac{\lambda}{N} \cdot \sin(2.5^\circ) = 2\lambda.\]

Скоротимо на \(\lambda\) та використовуємо значення \(N\):

\[\frac{\sin(2.5^\circ)}{2.5 \times 10^5} = 2.\]

Поділивши обидві частини на 2, отримаємо:

\[\lambda = \frac{\sin(2.5^\circ)}{2 \times 2.5 \times 10^5}.\]

Тепер можемо обчислити значення \(\lambda\) за допомогою калькулятора. В результаті отримаємо:

\[\lambda \approx 5.70 \times 10^{-7} \text{ метрів}.\]

Отже, монохроматичний світловий промінь має довжину хвилі приблизно \(5.70 \times 10^{-7}\) метрів.