Яке є значення сторін ромба, якщо його площа становить 216 см², а відома одна з діагоналей?

Busya

10

Щоб знайти значення сторін ромба, ми можемо скористатися формулою для обчислення площі ромба, а потім відновити довжину сторін.

Площа ромба обчислюється за формулою:
\[Площа = \frac{{d_1 \cdot d_2}}{2}\]
де \(d_1\) і \(d_2\) - діагоналі ромба.

Задано, що площа ромба становить 216 см² і відома одна з діагоналей. Нехай \(d_1\) - відома діагональ, а \(d_2\) - інша діагональ.

Ми знаємо формулу для площі, значення площі і одну з діагоналей. Наша мета - знайти іншу діагональ.

У цьому випадку, ми можемо переписати формулу площі, підставивши відомі значення:
\[216 = \frac{{d_1 \cdot d_2}}{2}\]

Тепер ми можемо знайти \(d_2\) за допомогою алгебри. Спочатку помножимо обидві сторони на 2:
\[432 = d_1 \cdot d_2\]

Потім поділимо обидві сторони на \(d_1\):
\[\frac{432}{d_1} = d_2\]

Отже, ми отримали такі вирази для діагоналей ромба:
\(d_1\) (відома діагональ) і \(\frac{432}{d_1}\) (інша діагональ).

Ромб має рівні сторони, тому довжини сторін ромба також будуть рівні.

Використовуючи вирази для діагоналей, ми можемо записати наступне співвідношення:
\[d_1 = \frac{{\sqrt{2} \cdot a}}{2}\]
і
\(\frac{432}{d_1} = \frac{{\sqrt{2} \cdot a}}{2}\), де \(a\) - довжина сторони ромба.

Тепер ми маємо два співвідношення для \(d_1\) і \(\frac{432}{d_1}\), тому ми можемо вирішити цю систему рівнянь. Давайте знайдемо значення сторони \(a\).

Спершу вирішимо перше рівняння:
\[d_1 = \frac{{\sqrt{2} \cdot a}}{2}\]
Перейдемо до множення обох сторін на 2:
\[2d_1 = \sqrt{2} \cdot a\]
Після цього піднесемо обидві сторони до квадрату:
\[(2d_1)^2 = (\sqrt{2} \cdot a)^2\]
\[4d_1^2 = 2a^2\]

Тепер вирішимо друге рівняння:
\(\frac{432}{d_1} = \frac{{\sqrt{2} \cdot a}}{2}\)
Можемо перемножити обидві сторони на \(d_1\):
\(432 = \frac{{\sqrt{2} \cdot a \cdot d_1}}{2}\)
Множимо обидві сторони на 2:
\(864 = \sqrt{2} \cdot a \cdot d_1\)
Піднесемо обидві сторони до квадрату:
\(864^2 = (\sqrt{2} \cdot a \cdot d_1)^2\)
\(746496 = 2a^2 \cdot d_1^2\)

Тепер, ми маємо два рівняння для \(4d_1^2\) і \(2a^2 \cdot d_1^2\), і знаючи що \(4d_1^2 = 2a^2\), ми можемо скласти одне рівняння з двох:

\[4d_1^2 = 746496\]

Значення \(d_1\) можна знайти, взявши квадратний корінь обох частин рівняння:
\[d_1 = \ sqrt{\frac{746496}{4}}\]
\[d_1 = \sqrt{186624}\]

Переведемо площину ромба в кількість квадратних сантиметрівів
\[d_1 = \sqrt{186624} \approx 431.8 \, см\]

Тепер, знаючи \(d_1\), значення однієї діагоналі, ми можемо знайти \(d_2\) - іншу діагональ, використовуючи рівняння \(d_2 = \frac{432}{d_1}\):
\[d_2 = \frac{432}{431.8} \approx 1 \, см\]

Отже, сторони ромба мають довжину приблизно 431.8 см, а значення діагоналей становлять відповідно 431.8 см та 1 см.