Які числа утворюють зростаючу геометричну прогресію, яка в сумі дає 65? Якщо зменшити найменше число на 1 та найбільше

Аида_7877

70

Для решения данной задачи нам понадобится использовать различные методы и формулы.

Пусть первый член геометрической прогрессии будет a, а знаменатель прогрессии - q. Тогда сумма всех членов геометрической прогрессии может быть вычислена с помощью формулы:

\[S = a \cdot \frac{{q^n - 1}}{{q - 1}}\]

где S - сумма, a - первый член, q - знаменатель прогрессии и n - количество членов.

В данной задаче нам дано, что сумма всех членов прогрессии равна 65. Подставим эти значения в формулу и решим уравнение для q:

\[65 = a \cdot \frac{{q^n - 1}}{{q - 1}}\]

Далее, заметим, что если мы уменьшим первый член на 1 и последний член на 19, то получим арифметическую прогрессию. Пусть первый и последний члены арифметической прогрессии будут b и c соответственно, а разность арифметической прогрессии - d. Тогда нам известно, что:

\[b = a - 1\]
\[c = aq^n - 19\]
\[d = \frac{{c - b}}{{n - 1}}\]

Решим это уравнение системы для значений b, c и d.

Мы получили две системы уравнений: одну для геометрической прогрессии и одну для арифметической прогрессии. Решим их поочередно.

1. Геометрическая прогрессия:
Из формулы суммы прогрессии и условия задачи у нас есть:
\[65 = a \cdot \frac{{q^n - 1}}{{q - 1}}\]

Мы можем заметить, что у всех чисел, которые образуют возрастающую геометрическую прогрессию, q должно быть больше 1, так как иначе прогрессия будет убывающей или будет состоять только из одного числа.

Далее, если знаменатель q больше 1, то q^n также будет увеличиваться при росте n. Тогда будем искать решение методом перебора.

Ниже приведена таблица возможных значений, где мы перебираем значения q от 1.1 до 2 и n от 1 до 10:

\[
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
q & n & q^n - 1 & 65 / (q - 1) \\
\hline
1.1 & 1 & 0.10000000000000009 & N/A \\
\hline
1.1 & 2 & 0.2100000000000002 & N/A \\
\hline
1.1 & 3 & 0.33100000000000043 & N/A \\
\hline
1.1 & 4 & 0.46410000000000064 & N/A \\
\hline
1.1 & 5 & 0.6105100000000009 & N/A \\
\hline
1.1 & 6 & 0.7715610000000012 & N/A \\
\hline
1.1 & 7 & 0.9497171000000014 & N/A \\
\hline
1.1 & 8 & 1.1476888100000015 & N/A \\
\hline
1.1 & 9 & 1.6 & N/A \\
\hline
1.2 & 1 & 0.19999999999999996 & 65 \\
\hline
1.2 & 2 & 0.4400000000000002 & 32.5 \\
\hline
1.2 & 3 & 0.7119999999999999 & 21.67 \\
\hline
1.2 & 4 & 1.0079999999999996 & 16.25 \\
\hline
1.2 & 5 & 1.4399999999999995 & 13 \\
\hline
1.2 & 6 & 2.015999999999999 & 10.833333333333334 \\
\hline
1.2 & 7 & 2.767999999999999 & 9.285714285714286 \\
\hline
1.2 & 8 & 3.695999999999998 & 8.125 \\
\hline
1.2 & 9 & 4.915199999999998 & 7.222222222222222 \\
\hline
1.3 & 1 & 0.30000000000000004 & 21.666666666666668 \\
\hline
1.3 & 2 & 0.6900000000000002 & 10.833333333333334 \\
\hline
1.3 & 3 & 1.2990000000000004 & 7.222222222222222 \\
\hline
1.3 & 4 & 2.0349999999999993 & 5.416666666666667 \\
\hline
1.3 & 5 & 3.109499999999999 & 4.333333333333333 \\
\hline
1.3 & 6 & 4.443349999999999 & 3.611111111111111 \\
\hline
1.3 & 7 & 6.087404999999999 & 3.0952380952380953 \\
\hline
1.3 & 8 & 8.022926499999998 & 2.708333333333333 \\
\hline
1.3 & 9 & 10.348780549999997 & 2.4065934065934067 \\
\hline
1.4 & 1 & 0.40000000000000013 & 16.25 \\
\hline
1.4 & 2 & 0.9600000000000002 & 8.125 \\
\hline
1.4 & 3 & 1.7440000000000006 & 5.416666666666667 \\
\hline
1.4 & 4 & 3.0589999999999997 & 4.0625 \\
\hline
1.4 & 5 & 5.302799999999999