Які дії потрібно провести, щоб усунути ірраціональність у знаменнику наступних дробів: 1) 2/5√8; 2) 6/√10-2

Sonechka

48

Щоб усунути ірраціональність у знаменнику дробів, потрібно скористатися так званим "спрощенням" або "регулюванням" знаменника. Давайте розпочнемо з першої задачі.

1) Дріб 2/5√8 ми можемо спростити, регулюючи знаменник.

Спочатку звернемо увагу на сам знаменник √8. Ми побачимо, що це ірраціональне число, оскільки не можна представити його як дроб, у якому чисельник і знаменник є цілими числами.

Однак, ми можемо спростити цей знаменник шляхом факторизації числа 8. Число 8 можна розкласти на добуток 2 і 4: 8 = 2 * 4.

Тепер ми можемо записати початковий дріб 2/5√8 як 2/5 * √(2 * 4).

Оскільки квадратний корінь перетворює добуток в суму квадратних коренів, ми можемо переписати цей дріб як 2/5 * √2 * √4.

А так як √4 = 2, то наш дріб спрощується до 2/5 * 2 * √2.

Ми можемо подекуди помножити 2 і 5, отримаємо 4/10 * √2.

І, нарешті, ми можемо спростити цей дріб, розділивши чисельник і знаменник на їхній найбільший спільний дільник. В нашому випадку, 4 і 10 мають найбільший спільний дільник 2, тому після поділу отримаємо 2/5 * √2.

Це і є наш спрощений дріб.

Тепер перейдемо до другої задачі.

2) Дріб 6/√10-2 також ми можемо спростити, регулюючи знаменник.

Спочатку звернемо увагу на знаменник √10. Ми бачимо, що це також ірраціональний доданок.

Тепер наша мета - раціоналізувати цей доданок. Щоб це зробити, помножимо чисельник і знаменник на спряжене значення (або спільне значення) √10, тобто √10 * √10.

Тоді наш дріб 6/√10-2 стане (6 * √10) / (√10 * √10 - 2 * √10).

Ми визначили, що √10 * √10 = 10, тому ми можемо спростити наш дріб до (6 * √10) / (10 - 2 * √10).

Далі, ми можемо помножити чисельник і знаменник на (10 + 2 * √10), щоб усунути ірраціональний знаменник з дробу. Отримаємо:

[(6 * √10) * (10 + 2 * √10)] / [(10 - 2 * √10) * (10 + 2 * √10)]

За допомогою формули різниці квадратів (a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)), ми можемо спростити знаменник до (10^2 - (2 * √10)^2), або до (100 - 4 * 10).

Значить, ми маємо [(6 * √10) * (10 + 2 * √10)] / (100 - 40).

Після спрощення ми отримаємо [(6 * √10) * (10 + 2 * √10)] / 60.

Тепер ми можемо поділити чисельник і знаменник на їхній найбільший спільний дільник, яким є 2, отримаємо (3 * √10) * (10 + 2 * √10) / 30.

Отже, після поділу ми отримаємо (3/15) * (√10 * (10 + 2 * √10)).

Заупинимося тут, так як більше не можна спростити цей дріб, і це є наша відповідь.