Заранее спасибо! У меня есть данное уравнение: (x-a)(x^2-8x+12)=0. Найдите значения a, при которых уравнение имеет

Elizaveta

17

Чтобы найти значения a, при которых уравнение имеет три разных корня, образующие арифметическую прогрессию, нам нужно решить данное уравнение и затем анализировать его корни. Давайте начнем с решения уравнения:

(x-a)(x^2-8x+12)=0

Для начала, мы можем разложить второе слагаемое на основе способа разложения квадратного трехчлена. Мы ищем два числа, которые при умножении дадут 12 и при сложении дадут -8. Такие числа -6 и -2:

(x-a)(x^2-6x-2x+12)=0

Теперь мы можем объединить соответствующие слагаемые:

(x-a)((x^2-6x)+(-2x+12))=0

(x-a)(x(x-6)-2(x-6))=0

(x-a)(x-2)(x-6)=0

Из этого видно, что уравнение имеет три фактора: (x-a), (x-2) и (x-6). Теперь, когда у нас есть факторизованное уравнение, мы можем найти значения a, при которых уравнение имеет три разных корня, образующие арифметическую прогрессию.

Если уравнение имеет три разных корня, образующие арифметическую прогрессию, это означает, что разница между корнями должна быть постоянной. Рассмотрим общий вид арифметической прогрессии:

a, a + d, a + 2d

Где a - первый член прогрессии, d - разница между членами. В нашем случае значения a = a, a + d = 2, a + 2d = 6.

Таким образом, у нас есть система уравнений:

a = a (1)
a + d = 2 (2)
a + 2d = 6 (3)

Чтобы решить эту систему уравнений, мы можем использовать метод подстановки или метод вычитания. Давайте воспользуемся методом вычитания.

Из уравнения (2) вычтем уравнение (1):

(a + d) - a = 2 - a

d = 2 - a

Теперь, мы можем подставить это значение d в уравнение (3):

a + 2(2 - a) = 6

a + 4 - 2a = 6

-a + 4 = 6

-a = 6 - 4

-a = 2

Теперь, умножим обе части последнего уравнения на -1, чтобы избавиться от знака минус:

a = -2

Таким образом, мы получили значение a, при котором уравнение имеет три разных корня, образующие арифметическую прогрессию. В нашем случае, это a = -2.

Обратите внимание, что в этом конкретном уравнении есть только одно значение a, при котором выполняются условия задачи.