Які доводи можна навести для рівності прямокутних трикутників, які мають однаковий катет і медіану, що проведена

Lunnyy_Svet

52

Для доведення рівності прямокутних трикутників з однаковим катетом і медіаною, що проведена до другого катету, скористаємось системою координат. Припустимо, ми маємо два прямокутних трикутники: ABC і DEF, де AB та DE є катетами, а АС та DF є медіанами, що проведені до катетів, відповідно. Давайте розглянемо кожен крок в деталях:

Крок 1: Введемо систему координат у такий спосіб, щоб вершини А і D знаходились на початку координат, а вершини B і E лежали на позитивній півосі X.

Крок 2: Так як АС і DF є медіанами, їхня точка перетину з гіпотенузами лежить посередині цих гіпотенуз. Позначимо цю точку як G для трикутника ABC і H для трикутника DEF.

Крок 3: Позначимо координати вершин B і E як (x, 0), де x - довжина AB = DE, оскільки катети мають однакову довжину.

Крок 4: Оскільки точка G - це середина AC, координата точки G буде (x/2, y1), де y1 - координата вершини С.

Крок 5: Аналогічно, оскільки точка H - це середина DF, координата точки H буде (x/2, y2), де y2 - координата вершини F.

Крок 6: Позначимо координати вершин А і D як (0, y1) і (0, y2) відповідно.

Крок 7: Знайдемо співвідношення між y1 і y2 використовуючи умову медіани. Згідно з умовою задачі, медіана має довжину DF/2, тобто |y2 - y1| = DF/2.

Крок 8: Оскільки DF = 2x (так як катети мають однакову довжину), ми можемо записати рівність: |y2 - y1| = x.

Крок 9: Підставимо координати точок G і H в цю рівність і отримаємо: |y1 - y1| = x.

Крок 10: В якості прикладу, розглянемо випадок, коли y1 > y2 (інші випадки будуть аналогічні). Отримаємо: y1 - y1 = x, або 0 = x.

Крок 11: Звертаємо увагу, що x = 0 означає, що вершини B і E перетинаються на півосі X.

Крок 12: Таким чином, трикутник ABC і трикутник DEF з однаковим катетом і медіаною, що проведена до другого катета, мають однаковий набір координат для своїх вершин.

Крок 13: Згідно з властивостями прямокутних трикутників, що мають однаковий набір координат вершин, ці трикутники є рівними.

Таким чином, ми довели, що прямокутні трикутники з однаковим катетом і медіаною, проведеною до другого катета, є рівними.