Які довжини відрізків КТ, АТ і АD на рисунку, де два кола мають одну центральну точку о? Діаметр більшого кола
Які довжини відрізків КТ, АТ і АD на рисунку, де два кола мають одну центральну точку о? Діаметр більшого кола - 7 см, а меншого - 4 см 6 мм. Прошу вас знайти довжини цих відрізків.
Can you quickly find the lengths of segments KT, AT, and AD on the given figure, where two circles have a common center at point O? The diameter of the larger circle is 7 cm, while the diameter of the smaller circle is 4 cm 6 mm. Please calculate the lengths of these segments.
Can you quickly find the lengths of segments KT, AT, and AD on the given figure, where two circles have a common center at point O? The diameter of the larger circle is 7 cm, while the diameter of the smaller circle is 4 cm 6 mm. Please calculate the lengths of these segments.
Zvezdopad_V_Kosmose 51
Для решения этой задачи обратимся к геометрическим свойствам окружностей, а именно к тому факту, что радиус, проведенный к касательной окружности, является перпендикуляром к данной касательной.Итак, рассматриваемый треугольник AOT является прямоугольным треугольником, где АО - гипотенуза, OT и AT - катеты. Первым шагом найдем длину гипотенузы АО, используя длины диаметров окружностей.
Для большего круга, диаметр которого равен 7 см, радиус будет половиной диаметра:
\[r = \frac{7}{2} \, \text{см} = 3.5 \, \text{см}\]
Для меньшего круга, диаметр которого равен 4 см 6 мм, найдем радиус:
\[r = \frac{4 \times 10 + 6}{2} \, \text{мм} = 23 \, \text{мм}\]
Теперь, зная радиус АО, можем вычислить длины катетов OT и AT. Для этого нам понадобится знание о том, что радиус, проведенный к касательной, делит прямой угол на равные части.
Таким образом, мы имеем прямой угол, разделенный на две части радиусом. Каждый угол будет составлять \(\frac{90}{2} = 45\) градусов.
Построим треугольник КТО, где КТ - одна из сторон треугольника, а TO - другая сторона. Мы знаем, что угол КТО составляет 45 градусов, и рассчитаем длину стороны КТ.
\[KT = r \times \sqrt{2}\]
Подставив значения радиусов, получаем:
\[KT = 3.5 \times \sqrt{2} \, \text{см} \approx 4.95 \, \text{см}\]
Таким же образом, найдем длину стороны TO:
\[TO = OT = r \times \sqrt{2}\]
\[OT = 23 \times \sqrt{2} \, \text{мм} \approx 32.5 \, \text{мм}\]
Теперь можно перейти к рассмотрению треугольника АОТ.
Мы уже знаем длину стороны OT, а для расчета длины стороны АТ, воспользуемся теоремой Пифагора: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.
\[AT^2 = AO^2 - OT^2\]
\[AT = \sqrt{AO^2 - OT^2}\]
Подставив значения, получаем:
\[AT = \sqrt{3.5^2 - 23^2} \, \text{мм} \approx 34.7 \, \text{мм}\]
И последним шагом, рассмотрим треугольник АOD.
Мы знаем длины гипотенузы АО и катета АТ. Для расчета длины катета AD, снова воспользуемся теоремой Пифагора.
\[AD^2 = AO^2 - AT^2\]
\[AD = \sqrt{AO^2 - AT^2}\]
Подставив значения, получаем:
\[AD = \sqrt{3.5^2 - 34.7^2} \, \text{мм} \approx 31.1 \, \text{мм}\]
Таким образом, длины величин KT, AT и AD, соответственно, равны:
KT ≈ 4.95 см,
AT ≈ 34.7 мм,
AD ≈ 31.1 мм