Какую долю площади составляют закрашенные фигуры в треугольнике, каждую сторону которого была разбита на равные части

Искрящаяся_Фея

58

Для решения данной задачи, давайте рассмотрим каждую фигуру по отдельности и вычислим их площади. Затем мы найдем сумму площадей всех закрашенных фигур и определим, какую долю эта сумма составляет от площади всего треугольника.

Перед нами имеется треугольник, каждая из его сторон была разбита на равные части. Давайте обозначим длину каждой из этих частей как \(x\).

Посмотрите на первую закрашенную фигуру - это правильный треугольник, который имеет сторону равную \(x\). Чтобы найти его площадь, нам понадобится формула площади правильного треугольника: \(\frac{{a^2 \sqrt{3}}}{4}\), где \(a\) - длина стороны треугольника. В нашем случае, сторона равна \(x\), поэтому площадь этой фигуры будет: \(\frac{{x^2 \sqrt{3}}}{4}\).

Вторая закрашенная фигура - это прямоугольник. Длина одной из его сторон равна \(x\), а длина другой стороны - \(\frac{{x}}{2}\) (так как прямоугольник расположен посередине одной из сторон треугольника). Площадь прямоугольника равна произведению длин его сторон: \(x \cdot \frac{{x}}{2} = \frac{{x^2}}{2}\).

Третья закрашенная фигура представляет собой равнобедренный треугольник с основанием длиной \(x\) и высотой равной \(\frac{{x}}{2}\). Формула площади равнобедренного треугольника выглядит так: \(\frac{{a \cdot h}}{2}\), где \(a\) - длина основания, а \(h\) - высота. Подставив значения, получим: \(\frac{{x \cdot \frac{{x}}{2}}}{2} = \frac{{x^2}}{4}\).

Таким образом, площади всех трех закрашенных фигур составляют:
\(\frac{{x^2 \sqrt{3}}}{4}\), \(\frac{{x^2}}{2}\) и \(\frac{{x^2}}{4}\).

Чтобы найти общую площадь этих фигур, сложим их:
\(\frac{{x^2 \sqrt{3}}}{4} + \frac{{x^2}}{2} + \frac{{x^2}}{4}\).

Общая площадь закрашенных фигур составляет:
\(\frac{{x^2 \sqrt{3}}}{4} + \frac{{4x^2}}{4} + \frac{{x^2}}{4} = \frac{{x^2 \sqrt{3} + 5x^2}}{4} = \frac{{(x^2 \sqrt{3} + 5x^2)}}{4}\).

Теперь нам необходимо найти площадь всего треугольника. Найдем длину одной из его сторон. У треугольника четыре стороны - три равные стороны с длиной \(x\) и одна сторона между двумя закрашенными фигурами, которую мы обозначили ранее как \(\frac{{x}}{2}\). Таким образом, длина стороны треугольника будет \(3x + \frac{{x}}{2}\).

Чтобы найти площадь треугольника, воспользуемся формулой Герона: \(S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\), где \(p\) - полупериметр треугольника, \(a\), \(b\) и \(c\) - его стороны. В нашем случае, \(p = \frac{{3x + \frac{{x}}{2}}}{2} = \frac{{7x}}{4}\). Подставив значения в формулу, получим:

\(S = \sqrt{\frac{{7x}}{4} \cdot \left(\frac{{7x}}{4} - x\right) \cdot \left(\frac{{7x}}{4} - \frac{{x}}{2}\right) \cdot \left(\frac{{7x}}{4} - \frac{{x}}{2}\right)}\).

Упростим выражение:

\(S = \sqrt{\frac{{7x}}{4} \cdot \left(\frac{{3x}}{4}\right) \cdot \left(\frac{{3x}}{4}\right) \cdot \left(\frac{{3x}}{4}\right)} = \sqrt{\frac{{63x^4}}{256}}\).

Теперь, чтобы найти долю площади закрашенных фигур в треугольнике, разделим площадь закрашенных фигур на площадь всего треугольника:

\(\frac{{\frac{{x^2 \sqrt{3} + 5x^2}}{4}}}{\sqrt{\frac{{63x^4}}{256}}}\).

Для удобства, давайте сократим это выражение. Умножим числитель и знаменатель на \(\frac{{256}}{x^2}\):

\(\frac{{\frac{{256}}{x^2} \cdot (\frac{{x^2 \sqrt{3} + 5x^2}}{4})}}{\sqrt{63}}\).

Мы видим, что в числителе можно сократить \(x^2\):

\(\frac{{256 \cdot (\sqrt{3} + 5)}}{4 \cdot \sqrt{63}}\).

Теперь, чтобы упростить это выражение, вычислим числитель и знаменатель:

Числитель: \(256 \cdot (\sqrt{3} + 5) = 256 \cdot \sqrt{3} + 1280\).

Знаменатель: \(4 \cdot \sqrt{63} = 4 \cdot \sqrt{9 \cdot 7} = 4 \cdot 3 \cdot \sqrt{7} = 12 \sqrt{7}\).

Таким образом, доля площади, составляемая закрашенными фигурами в треугольнике, равна:

\(\frac{{256 \cdot \sqrt{3} + 1280}}{{12 \sqrt{7}}}\).

Итак, ответ на задачу - \(\frac{{256 \cdot \sqrt{3} + 1280}}{{12 \sqrt{7}}}\) - показывает долю площади, составляемую закрашенными фигурами в треугольнике.