Какую долю площади составляют закрашенные фигуры в треугольнике, каждую сторону которого была разбита на равные части

Искрящаяся_Фея

58

Для решения данной задачи, давайте рассмотрим каждую фигуру по отдельности и вычислим их площади. Затем мы найдем сумму площадей всех закрашенных фигур и определим, какую долю эта сумма составляет от площади всего треугольника.

Перед нами имеется треугольник, каждая из его сторон была разбита на равные части. Давайте обозначим длину каждой из этих частей как $x$.

Посмотрите на первую закрашенную фигуру - это правильный треугольник, который имеет сторону равную $x$. Чтобы найти его площадь, нам понадобится формула площади правильного треугольника: $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$, где $a$ - длина стороны треугольника. В нашем случае, сторона равна $x$, поэтому площадь этой фигуры будет: $\frac{x^2\sqrt{3}}{4}$.

Вторая закрашенная фигура - это прямоугольник. Длина одной из его сторон равна $x$, а длина другой стороны - $\frac{x}{2}$ (так как прямоугольник расположен посередине одной из сторон треугольника). Площадь прямоугольника равна произведению длин его сторон: $x\cdot \frac{x}{2}=\frac{x^2}{2}$.

Третья закрашенная фигура представляет собой равнобедренный треугольник с основанием длиной $x$ и высотой равной $\frac{x}{2}$. Формула площади равнобедренного треугольника выглядит так: $\frac{a\cdot h}{2}$, где $a$ - длина основания, а $h$ - высота. Подставив значения, получим: $\frac{x\cdot \frac{x}{2}}{2}=\frac{x^2}{4}$.

Таким образом, площади всех трех закрашенных фигур составляют:
$\frac{x^2\sqrt{3}}{4}$, $\frac{x^2}{2}$ и $\frac{x^2}{4}$.

Чтобы найти общую площадь этих фигур, сложим их:
$\frac{x^2\sqrt{3}}{4}+\frac{x^2}{2}+\frac{x^2}{4}$.

Общая площадь закрашенных фигур составляет:
$\frac{x^2\sqrt{3}}{4}+\frac{4x^2}{4}+\frac{x^2}{4}=\frac{x^2\sqrt{3}+5x^2}{4}=\frac{(x^2\sqrt{3}+5x^2)}{4}$.

Теперь нам необходимо найти площадь всего треугольника. Найдем длину одной из его сторон. У треугольника четыре стороны - три равные стороны с длиной $x$ и одна сторона между двумя закрашенными фигурами, которую мы обозначили ранее как $\frac{x}{2}$. Таким образом, длина стороны треугольника будет $3x+\frac{x}{2}$.

Чтобы найти площадь треугольника, воспользуемся формулой Герона: $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ - полупериметр треугольника, $a$, $b$ и $c$ - его стороны. В нашем случае, $p=\frac{3x+\frac{x}{2}}{2}=\frac{7x}{4}$. Подставив значения в формулу, получим:

$S=\sqrt{\frac{7x}{4}\cdot (\frac{7x}{4}-x)\cdot (\frac{7x}{4}-\frac{x}{2})\cdot (\frac{7x}{4}-\frac{x}{2})}$.

Упростим выражение:

$S=\sqrt{\frac{7x}{4}\cdot \left(\frac{3x}{4}\right)\cdot \left(\frac{3x}{4}\right)\cdot \left(\frac{3x}{4}\right)}=\sqrt{\frac{63x^4}{256}}$.

Теперь, чтобы найти долю площади закрашенных фигур в треугольнике, разделим площадь закрашенных фигур на площадь всего треугольника:

$\frac{\frac{x^2\sqrt{3}+5x^2}{4}}{\sqrt{\frac{63x^4}{256}}}$.

Для удобства, давайте сократим это выражение. Умножим числитель и знаменатель на $\frac{256}{x^2}$:

$\frac{\frac{256}{x^2}\cdot (\frac{x^2\sqrt{3}+5x^2}{4})}{\sqrt{63}}$.

Мы видим, что в числителе можно сократить $x^2$:

$\frac{256\cdot (\sqrt{3}+5)}{4\cdot \sqrt{63}}$.

Теперь, чтобы упростить это выражение, вычислим числитель и знаменатель:

Числитель: $256\cdot (\sqrt{3}+5)=256\cdot \sqrt{3}+1280$.

Знаменатель: $4\cdot \sqrt{63}=4\cdot \sqrt{9\cdot 7}=4\cdot 3\cdot \sqrt{7}=12\sqrt{7}$.

Таким образом, доля площади, составляемая закрашенными фигурами в треугольнике, равна:

$\frac{256\cdot \sqrt{3}+1280}{12\sqrt{7}}$.

Итак, ответ на задачу - $\frac{256\cdot \sqrt{3}+1280}{12\sqrt{7}}$ - показывает долю площади, составляемую закрашенными фигурами в треугольнике.